Ленард-Џоунсов потенцијал

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ленард-Џоунсов потенцијал је један од физичкохемијских модела којим се описује зависност енергије узајамног деловања неутралних честица од њиховог међусобног растојања. Назван је по свом аутору Џону Ленард-Џоунсу.

Између неутралних честица (атома и молекула) делује сила која, зависно од њиховог међусобног растојања, може бити привлачна или одбојна. На великим растојањима сила је привлачна (ван дер Валсова сила или дисперзиона сила или Лондонова сила) а на малим сила је одбојна. Привлачна сила последица је покретљивости атомског и молекулског наелетрисања због чега неутралне честице могу једна у другој да индукују диполе који се међусобно привлаче. Потенцијална енергија у пољу привлачне силе је негативна. Међутим, на кратким растојањима када наелетрисања из различитих честица почну да се прекривају долази до одбијања честица. Потенцијал у пољу одбојне силе је позитиван. Ленард-Џоунсов потенцијал представља једноставан математички модел у којем је укупни потенцијал међуделовања приказан збиром потенцијала привлачне и одбојне силе. Џон Ленард-Џоунс са универзитета у Бристолу предложио је формулу 1931. године.[1]

Ленард-Џоунсов потенцијал димера аргона: црвено - емпиријска крива, тачкасто - Ленард-Џоунсова формула.


Једначина[уреди]

Ленард-Џоунсов поренцијал (L-J) има два члана, позитивни којим се представља одбијање и негативни којим се представља привлачење међу неутралним честицама:
V(r)=4\varepsilon \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{12} - \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{6}\end{bmatrix}

Овде ε представља дубину поенцијалне јаме а σ је радијус честице представљене као чврста сфера. Дакле, члан \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^6 означава одбојну силу а члан \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^{12} привлачну.

Минимум L-J потенцијал постиже када се деловања привлачне и одбојне силе узајамно пониште. Растојање при којем се то дешава називамо равнотежним:
r_0 = 2^{1/6} \sigma.


Сила је негативни градијент потенцијала поља па из горњег израза налазимо зависност силе од растојања:

 \mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left(12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}


L-J потенцијал је приближни потенцијал. Облик одбојног члана нема теоријског оправдања; одбојни члан би требало експоненцијално да пада са растојањем. Међутим зависност коју је педложио Ленард-Џоунс је згодна јер се лао израчунава (онд аније било рачунара) као квадрат привлачног члана, r6. Привлачни потенцијал који има далеки домет изведен је из Лоноднове дисперзионе силе. L-J потенцијал је релативно добра апроксимација и због једноставности често се користи за описивање гасова, и моделовање дисперзије и преклапања у молекулским моделима. Посебно је згодан за описивање атома инертних гасова а добра је апроксимација при великим и средњим растојањима код неутралних молекула. На цртежу је приказан L-J потенцијал за димер аргона, у поређењу са емпиријским потенцијалом. Мало неслагање последица је нетачности у одбојном делу L-J потенцијала.


Алтернативни изрази[уреди]

Функција L-J потенцијала често се изражава и као


V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

где је

\, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma равнотежно растојање (растојање на минимуму потенцијала).

Често се користи и облик


V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

где је

\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}

\, B = 4 \epsilon \sigma^6

 \sigma = \left(\frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }

и

\epsilon = \frac{B^2}{4 A}.

Референце[уреди]

  1. ^ Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.

Види још[уреди]