Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција $f$ холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева ($f \in H(\mathbb{C})$ и ограничена, тада је она идентички константа, тј. $f \equiv const$.

Доказ

Нека је $K_R=\{z | |z-0| < R\}$ круг са полупречником $R$ и центром у нули. Како је функција холоморфна у $\mathbb{C}$, она је холоморфна и унутар $K_R$, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-0)^n, \forall z \in K_R$

$a_n=\frac{1}{2\pi\rm i} \int_{|\xi-0|=R} \frac{f(\xi)}{(\xi-0)^{n+1}}$

Како је $f$ ограничена, онда постоји $M>0$ тако да је $|f(z)| \le M, \forall z \in \mathbb{C}$. Зато важе Кошијеве неједнакости:

$|a_n| \le \frac{M}{R^n}$.

Одатле:

$n \ne 0: \frac{M}{R^n}\rightarrow 0, R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_n|\rightarrow 0$. (пустили смо да $R\rightarrow\infty$ јер ће једначина бити иста за ма колико велико $R$).

$n=0: \frac{M}{R^n}=\frac{M}{R^0}=\frac{M}{1}=M\not\rightarrow 0$

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента $a_0$, слиједи да је:

$f(z) = a_0 \Rightarrow f(z) \equiv const$.