Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција f холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева (f \in H(\mathbb{C}) и ограничена, тада је она идентички константа, тј. f \equiv const.

Доказ[уреди]

Нека је K_R=\{z | |z-0| < R\} круг са полупречником R и центром у нули. Како је функција холоморфна у \mathbb{C}, она је холоморфна и унутар K_R, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-0)^n, \forall z \in K_R

a_n=\frac{1}{2\pi\rm i} \int_{|\xi-0|=R} \frac{f(\xi)}{(\xi-0)^{n+1}}

Како је f ограничена, онда постоји M>0 тако да је |f(z)| \le M, \forall z \in \mathbb{C}. Зато важе Кошијеве неједнакости:

|a_n| \le \frac{M}{R^n}.

Одатле:

n \ne 0: \frac{M}{R^n}\rightarrow 0, R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_n|\rightarrow 0. (пустили смо да R\rightarrow\infty јер ће једначина бити иста за ма колико велико R).

n=0: \frac{M}{R^n}=\frac{M}{R^0}=\frac{M}{1}=M\not\rightarrow 0

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента a_0, слиједи да је:

f(z) = a_0 \Rightarrow f(z) \equiv const.