Логаритамске једначине

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици постоје неколико логаритамских једначина.

Алгебарске једначине[уреди]

Коришћење једноставнијих операција[уреди]

Људи користе логаритме да би упростили рачун. На пример, два броја могу бити помножена само користећи таблицу логаритама и сабирање.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, због  b^m \cdot b^n = b^{m + n}
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) због  \begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, због  (b^n)^y = b^{ny} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} због  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}

Укидање експонената[уреди]

Логаритми и експоненти (антилогаритми) са истом основом се поништавају.

 b^{\log_b(x)} = x због  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, због  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Промена основе[уреди]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Ова једначина се користи за израчунавање логаритама на електронским калкулаторима. На пример, већина калкулатора има дугмад за ln и за log10, али не и за log2. Да бисмо нашли log2(3), треба израчунати log10(3) / log10(2) (или ln(3)/ln(2), што је заправо иста ствар).

Из ове формуле произилази неколико ствари:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Тривијалне једначине[уреди]

 \log_b(1) = 0 \!\, због  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, због  b^1 = b\!\,

Једначине математичке анализе[уреди]

Лимеси[уреди]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

Последњи лимес се често схвата као „логаритам расте спорије од било ког степена или корена x".

Извод логаритамске функције[уреди]

{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0
{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1

Интеграл логаритамске функције[уреди]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

што се за а=е своди на

\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C