Логаритамске једначине

У математици постоје неколико логаритамских једначина.

Алгебарске једначине

Коришћење једноставнијих операција

Људи користе логаритме да би упростили рачун. На пример, два броја могу бити помножена само користећи таблицу логаритама и сабирање.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	због	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	због	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	због	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	због	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Укидање експонената

Логаритми и експоненти (антилогаритми) са истом основом се поништавају.

$b^{\log_b(x)} = x$	због	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	због	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Промена основе

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Ова једначина се користи за израчунавање логаритама на електронским калкулаторима. На пример, већина калкулатора има дугмад за ln и за log₁₀, али не и за log₂. Да бисмо нашли log₂(3), треба израчунати log₁₀(3) / log₁₀(2) (или ln(3)/ln(2), што је заправо иста ствар).

Из ове формуле произилази неколико ствари:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Тривијалне једначине

$\log_b(1) = 0 \!\,$	због	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	због	$b^1 = b\!\,$

Једначине математичке анализе

Лимеси

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

Последњи лимес се често схвата као „логаритам расте спорије од било ког степена или корена x".

Извод логаритамске функције

${d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0$

${d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1$

Интеграл логаритамске функције

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

што се за а=е своди на

$\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C$