Мера Лебега

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, мера Лебега, је стандардан начин за додељивање дужине, површине или запремине подскуповима Еуклидског простора. Добила је име по француском математичару Анрију Лебегу. Користи се у реалној анализи, у дефинисању Лебегове интеграције. Скупови којима се може придружити запремина се називају Лебег мерљивим; запремина или мера Лебег мерљивог скупа A се означава са λ(A). Дозвољава се да скуп буде Лебег мере .

Уз претпоставку аксиоме избора, нису сви подскупови од Rn Лебег мерљиви, нити се може на скупу свих подскупова овог простора дефинисати мера која би задовољавала уобичајене аксиоме укључујући и σ-адитивност. Необично понашање немерљивих скупова доводи до контраинтуитивних исказа као што је парадокс Банаха-Тарског, који представља последицу аксиоме избора.

Унутар интеграла по Лебегу, мера Лебега се често означава са \mathrm{d}x, али ово не треба мешати са другачијим појмом запреминске форме.

Примери[уреди]

  • Ако је A затворен интервал [a, b], онда је његова мера Лебега једнака дужини ba. Отворени интервал (a, b) има исту меру, јер разлика између ова два скупа има меру нула.
  • Ако је A Декартов производ интервала [a, b] и [c, d], онда се ради о правоугаонику, и његова мера Лебега је површина (ba)(dc).
  • Канторов скуп је пример непребројивог скупа чија мера Лебега је једнака нули.

Својства[уреди]

Лебегова мера на Rn има следећа својства:

  1. Ако је A Декартов производ интервала I1 × I2 × ... × In, онда је A Лебег мерљив, и \lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|. Овде |I| означава дужину интервала I.
  2. Ако је A дисјунктна унија коначно много или пребројиво много дисјунктних Лебег мерљивих скупова, онда је и сам скуп A Лебег мерљив и λ(A) је једнако збиру (односно суми реда уколико је број сабирака бесконачан) мера скупова који припадају унији.
  3. Ако је A Лебег мерљив, онда је и његов комплемент Лебег мерљив.
  4. λ(A) ≥ 0 за сваки Лебег мерљив скуп A.
  5. Ако су A и B Лебег мерљиви и A је подскуп од B, онда је λ(A) ≤ λ(B). (последица тачака 2, 3 и 4.)
  6. Пребројиве уније и пресеци Лебег мерљивих скупова су Лебег мерљиви.[1]
  7. Ако је A отворен или затворен подскуп од Rn (или чак Борелов скуп), онда је A Лебег мерљив.
  8. Ако је A Лебег мерљив скуп, онда је он „приближно отворен“ и „приближно затворен“ у смислу мере Лебега (видети: теорема регуларности за меру Лебега).
  9. Мера Лебега је уједно и локално коначна и регуларна изнутра, па је она и Радонова мера.
  10. Мера Лебега је строго позитивна на непразним отвореним скуповима, па је њен носач цео простор Rn.
  11. Ако је A Лебег мерљив скуп са λ(A) = 0 (скуп мере нула), онда је сваки подскуп од A такође скуп мере нула. А фортиори је сваки подскуп од A мерљив.
  12. Ако је A Лебег мерљив и x је елемент од Rn, онда је транслат скупа A за x, дефинисан као A + x = {a + x : aA}, такође Лебег мерљив и има исту меру као A.
  13. Ако је A Лебег мерљив, и \delta>0, онда је дилатација A фактором \delta, дефинисана као \delta A=\{\delta x:x\in A\} такође Лебег мерљива и има меру \delta^{n}\lambda\,(A).
  14. Општије, ако је T линеарна трансформација и A је мерљив подскуп од Rn, онда је T(A) такође Лебег мерљив скуп и има меру |\det(T)|\lambda(A).

Сви горњи искази се могу сумирати на следећи начин:

Лебег мерљиви скупови граде σ-алгебру која садржи све производе интервала и λ је јединствена комплетна транслационо-инваријантна мера на тој σ-алгебри таква да је \lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.

Лебег мера такође има својство да је σ-коначна.

Нула скупови[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак нула скуп

Подскуп од Rn је нула скуп ако, за свако ε > 0, може да буде покривен помоћу пребројиво много производа интервала чији је укупна запремина највише ε. Сви пребројиви скупови су нула скупови.

Ако подскуп од Rn има Хаусдорфову димензију мању од n онда је он нула скуп у односу на n-димензиону Лебег меру. Овде је Хаусдорфова димензија у вези са еуклидском метриком на Rn (или било којом метриком која је са њом Липшиц-инваријантна). Са друге стране, скуп може да има тополошку димензију мању од n, а да има позитивну n-димензиону Лебег меру. Пример овога је Сми-Волтера-Канторов скуп чија је тополошка димензија 0 а ипак има позитивну 1-димензиону меру Лебега.

Како би се показало да је дати скуп A Лебег мерљив, обично се тражи згоднији скуп B, који се од A разликује само за нула скуп (у смислу да је симетрична разлика A Δ B = (AB) ∪ (BA) нула скуп) и онда се покаже да се B може генерисати коришћењем пребројивих унија и пресека отворених или затворених скупова (односно, да је B Борелов скуп). За сваки Лебег мерљив скуп постоји Борел мерљив скуп B такав да је A Δ B нула скуп.

Конструкција мере Лебега[уреди]

Модерну конструкцију мере Лебега засновану на спољашњим мерама, је дао Каратеодори.

Фиксира се n\in\mathbb N. Кутија у \R^n је скуп облика B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i], где је b_i\ge a_i. Запремина \operatorname{vol}(B) ове кутије се дефинише као \prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

За сваки подскуп A од Rn, може се дефинисати његова спољашња мера  \lambda^*(A) као:

 \lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{j\in J}\operatorname{vol}(B_j) : \{B_j:j\in J\}\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }A\Bigr\} .

Затим се дефинише да је скуп A Лебег мерљив ако

 \lambda^*(S) = \lambda^*(S\cap A) + \lambda^*(S - A)

за све скупове S\subset \R^n. Ови Лебег мерљиви скупови формирају σ-алгебру, и мера Лебега се дефинише на овој σ-алгебри као λ(A) = λ*(A) за сваки Лебег мерљив скуп A.

По Виталијевој теореми постоји подскуп реалних бројева R, такав да није Лебег мерљив. Важи и много више: ако је A било који подскуп од \R^n позитивне мере, онда A има подскупове који нису Лебег мерљиви.

Однос са другим мерама[уреди]

Борелова мера је сагласна са мером Лебега на оним скуповима на којима је дефинисана; међутим, постоје много више Лебег мерљивих скупова него Борел мерљивих скупова. Прецизније, може се показати да је σ-алгебра Борел мерљивих скупова кардиналности c (кардиналност континуума), док је σ-алгебра Лебег мерљивих скупова строго веће кардиналности 2c (види Канторов дијагонални поступак). Борелова мера је транслационо-инваријантна, али није комплетна.

Мера Хаара се може дефинисати на свакој локално компактној групи и представља уопштење мере Лебега (која представља меру Хаара на Rn са структуром локално компактне групе у односу на сабирање).

Хаусдорфова мера (видети: Хаусдорфова димензија) је уопштење мере Лебега које је корисно за мерење подскупова од Rn димензија мањих од n, као што су подмногострукости на пример, површи или криве у R³. Не треба мешати Хаусдорфову меру и појам Хаусдорфове димензије.

Може се показати да не постоји аналогон мере Лебега у просторима бесконачне димензије.

Мера Лебега даје један појам „малих скупова“, наиме скупова мере нула, за које кажемо да су „мали“ у смислу теорије мере. Постоје и други појмови „малих скупова“, као што су, на пример пребројиво бесконачни скупови („мали“ у смислу кардиналности) или скупови прве категорије („мали“ у тополошком смислу Берове теорије категорија). Ови појмови нису увек компатибилни; на пример, интервал [0,1] се може представити као дисјунктна унија скупа прве категорије и скупа мере нула.

Историја[уреди]

Анри Лебег је ову меру описао 1901, а следеће године је описао Лебегову интеграцију. И један и други појам су објављени као део његове дисертације 1902.

Извори[уреди]

  1. ^ Ово није последица тачака 2 и 3, јер фамилија скупова која је затворена у односу на комплементе и дисјунктне пребројиве уније не мора да буде затворена у односу на пребројиве уније: \{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}.

Види још[уреди]