Непрекидна функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Интуитивно, непрекидна функција је она функција, која за довољно мале промене вредности аргумента има произвољно мале промене вредности функције. Такође, интуитивно, непрекидну функцију замишљамо као функцију чији график можемо нацртати не подижући оловку са папира.

Непрекидност функције је појам везан за топологију, а овај чланак је највећим делом везан за специјалан случај, када се ради у простору реалних бројева.

Функција која није непрекидна, кажемо да функција има прекид.

Као пример, посматрајмо функцију $v (t)$ која приказује зависност брзине аутомобила од времена. Ова функција је непрекидна јер ауто да би кроз неко време постигао брзину од рецимо 60km/h мора постепено убрзавати, и у неким тренуцима се кретати сваком од мањих брзина. За разлику од ове функције, функција $b (t)$ , која приказује стање на банковном рачуну у тренутку времена није непрекидна, јер има прекид сваки пут када се на рачун уплати новац, односно када се новац подигне са рачуна.

[уреди] Дефиниције

У овом одељку дати су основни начини дефинисања непрекидности функције.

[уреди] Кошијева дефиниција

Кошијева дефиниција је дефиниција на $\varepsilon - \delta$ језику, и везана је за функције реалних бројева.

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow\mathbb{R},X\subseteq\mathbb{R}$ , нека је $x_0\in X$ тачка нагомилавања скупа $X$ .

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x 0$ , ако је:

$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)$

Ова дефиниција је еквивалентна са:

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x 0$ , ако је:

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$

[уреди] Хајнеова дефиниција

Овом дефиницијом описана је непрекидна функција преко граничне вредности низа.

Реална функција $f$ је непрекидна ако за сваки низ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , такав да

$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = L$ ,

важи

$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = f(L)$

Овде смо наравно претпоставили да сваки члан низа припада домену функције.

[уреди] Тополошка дефиниција

Функција $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ је непрекидна у тачки $x_0\in X$ ако

$(\forall V \in \mathcal{V}(f(x_0)))(\exists U \in \mathcal{V}(x_0))(f(U \cap X) \subseteq V)$

[уреди] Непрекидност са стране

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ ,

функција је непрекидна са леве стране у тачки

x 0

ако

$\lim_{x\rightarrow x_0-0} f(x)=f(x_0)$

функција је непрекидна са десне стране у тачки

x 0

ако

$\lim_{x\rightarrow x_0+0} f(x)=f(x_0)$

Теорема: Функција $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ је непрекидна у тачки $x_0\in X$ ако и само ако је непрекидна у тој тачки и са леве и са десне стране.

[уреди] Непрекидност на скупу

Функција $f$ је непрекидна на скупу $X\subseteq \mathbb{R}$ ако је непрекидна у свакој тачки тог скупа, односно на $\varepsilon - \delta$ језику:

$(\forall x_0\in X)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in X)(|x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0) < \varepsilon|)$

[уреди] Униформна непрекидност

Функција $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ је униформно непрекидна на скупу $X$ ако

$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x_1,x_2 \in X)(|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0) < \varepsilon|)$

[уреди] Непрекидност код елементарних функција

Види елементарне функције

Теорема: Све елементарне функције су непрекидне на свом природном домену.

[уреди] Види још

Непрекидна функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Садржај

[уреди] Дефиниције

[уреди] Кошијева дефиниција

[уреди] Хајнеова дефиниција

[уреди] Тополошка дефиниција

[уреди] Непрекидност са стране

[уреди] Непрекидност на скупу

[уреди] Униформна непрекидност

[уреди] Непрекидност код елементарних функција

[уреди] Види још

Прегледи

Лични алати

навигација

техничке

Print/export

Претрага

алати

Други језици