Несвојствени интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије

Несвојствени интеграл представља уопштење одређеног интеграла на неограничене интервале интеграције и неограничене подинтегралне функције.

Дефиниција[уреди]

Несвојствени интеграл за функцију f \in R[a,c], \forall c<b, ако постоји \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x)dx, је интеграл \int_a^b f(x)dx по дефиницији једнак том лимесу, \int_a^b f(x)dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x)dx.

За f \in R[a,b], несвојствени интеграл једнак је Римановом, због непрекидности лимеса.

Врсте интеграла[уреди]

Разликују се несвојствени интеграли прве и друге врсте.[1]

Несвојствени интеграли прве врсте[уреди]

Код несвојствених интеграла прве врсте, подинтегрална функција је дефинисана на бесконачном интервалу интеграције. У зависности од интервала интеграције, разликују се три типа несвојствених интеграла са бесконачним интервалом који се дефинишу као граничне вредности, али на различите начине:

  • када је интервал интеграције полуоса затворена са леве стране,  [a, + \infty ) :
\int_a^{+ \infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to + \infty} \int_a^{\beta} f(x) dx
  • када је интервал интеграције полуоса затворена са десне стране,  (- \infty, b ] :
\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to - \infty} \int_{\alpha}^b f(x) dx
  • када је интервал цела бројевна права,  (- \infty, + \infty) :
\int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to - \infty, \beta \to + \infty, } \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx,

где границе интеграцие \alpha и \beta ка бесконачности теже независно.

Несвојствени интеграли друге врсте[уреди]

Несвојствени интеграли друге врсте су интеграли код којих је интервал интеграције коначан, али подинтегрална функција неограничена у једној тачки која се назива сингуларна тачка. Разликују се три типа несвојствених интеграла другог реда у зависности од положаја сингуларне тачке:

  • када је функција дефинисана у десно отвореном интервалу,  [a, b) , где \lim_{x \to b^-}f(x)=\infty :
\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{b - \epsilon} f(x) dx
  • када је функција дефинисана у лево отвореном интервалу,  (a, b] , где \lim_{x \to a^+}f(x)=\infty :
\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a + \epsilon}^b f(x) dx
  • када је функција дефинисана у целом интервалу  [a, b] , изузев у једној унутрашњој тачки c, a<c<b, у којој је неограничена \lim_{x \to c}f(x)=\infty :
\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon}f(x) dx  + \lim_{\delta\to 0} \int_{c +\delta}^b f(x) dx

Особине[уреди]

Преаском на лимес код особина Риманових интеграла, лако се добијају следеће особине несвојствених интеграла:

  • \int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx
  • \int_a^b (\lambda f(x))dx = \lambda \int_a^b f(x)dx, \forall \lambda \in \mathbf{R}
  • \int_a^b (u'(x)v(x))dx = \lim_{c \to b^-}(u(x)v(x)|_a^c) - \int_a^b (u(x)v'(x))dx , ако постоји барем један од ова три израза.

Кошијев критеријум за несвојствене интеграле[уреди]

Интеграл \int_a^c f(x)dx постоји у несвојственом смислу ⇔  (\forall \epsilon>0)(\exist c_0 \in [a,b])(\forall c_1, c_2 > c_0)|\int_{c_1}^{c_2} f(x)dx| < \epsilon. Ово се лако показује из Кошијевог конвергенционог критеријума, где се функција којој се одређује лимес замењује конкретним несвојственим интегралом \int_a^c f(x)dx.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Додатак о несвојственим интегралима, Радован Оморјан, Технолошки факултет Нови Сад, приступљено: 22. мај 2014.