Неутрал

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, неутрал (или неутрални елемент) је посебна врста елемента неког скупа у односу на бинарну операцију на том скупу. Неутрал се одликује тиме што друге елементе скупа оставља непромењеним када се са њима комбинује у тој операцији. Неутрали се користе у групама и повезаним концептима.

Нека је (S,*) скуп S са бинарном операцијом * дефинисаном на себи. Тада се елемент e скупа S назива леви неутрал ако e * a = a за свако a из S, а десни неутрал ако a * e = a за свако a из S. Ако је e уједно и леви и десни неутрал, онда се назива двостраним неутралом, или просто неутралом.

Неутрал у односу на сабирање се назива адитивним неутралом (често се означава са 0) а неутрал у односу на множење се назива мултипликативни инверз (често се означава са 1). Ова разлика се обично користи за скупове који имају обе ове бинарне операције, као што су прстени.

Примери[уреди]

скуп операција неутрал
реални бројеви + (сабирање) 0
реални бројеви • (множење) 1
реални бројеви ab (степеновање) 1 (само десни неутрал)
m-са-n матрица + (сабирање) нула матрица
n-са-n квадратне матрице • (множење) јединична матрица
све функције из скупа M у самог себе ∘ (композиција функција) идентитета
све функције из скупа M у самог себе * (конволуција) δ (Диракова делта)
ниске карактера, листе конкатенација празна ниска, празна листа
проширени реални бројеви минимум/инфинум +∞
проширени реални бројеви максимум/супремум -∞
подскупови скупа M ∩ (пресек) M
скупови ∪ (унија) { } (празан скуп)
Булова логика ∧ (логичко и) ⊤ (тачно)
Булова логика ∨ (логичко или) ⊥ (нетачно)
само два елемента {e, f} * дефинисана као
e * e = f * e = e and
f * f = e * f = f
и e и f су леви неутрали, али не постоји десни или двострани неутрал

Као што последњи пример показује, могуће је да  \left(S, \cdot \right) има више левих неутрала. У ствари, сваки елемент може бити леви неутрал. Слично, може бити више десних неутрала. Међутим, ако постоји и лесни неутрал и леви неутрал, онда су једнаки и постоји само један двострани неутрал. Да би се ово видело, уочимо да ако је  l леви неутрал, а  r десни, онда  l = l \cdot r = r . Специјално, није могуће да постоји више од једног двостраног неутрала. Када би постојала два,  e и f, онда  e \cdot f би морало да буде једнако и  e и  f .

Литература[уреди]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.

Види још[уреди]