Одређени интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије

Одређени (или Риманов) интеграл је проистекао из проблема површине који датира још из античке Грчке. Проблем квадратуре параболе је поставио Архимед, и то решење се сматра једним од првих значајних резултата математичке анализе. Увођење одређеног и неодређеног интеграла у математику није било везано једно за друго, те се и њихово дефинисање разликује. Одређени интеграл се дефинише као површина између функције и апсцисе, а неодређени интеграл као обрнути проблем налажења извода. Тек се касније испоставило, постављањем Њутн-Лајбницове формуле, да између одређеног и неодређеног интеграла постоји велика релација.

Дефиниција[уреди]

Функција f је дефинисана на одсечку  \left [ a,b \right] . Дефинишимо поделу \Pi као уређену \left(n+1\right) -торку бројева \left (x_0,x_1,x_2,x_3,...,x_n \right ) такву да је a=x_0<x_1<x_2<x_3<...<x_n=b, и у оквиру ње изберимо бројеве \xi=\left(\xi_1,\xi_2,...,\xi_{n}\right), тако да важи \xi_i\in\left [ x_{i-1},x_i\right]. Означимо са \Delta x_i=x_i-x_{i-1} разлику између 2 члана поделе. Тада је скуп \left\{\Delta x_1 ,\Delta x_2 ,..., \Delta x_n \right\rbrace коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент. Означимо тај елемент са \delta.


Реалним бројем I називамо одређени интеграл функције f на интервалу  \left [ a,b \right] , ако за свако \epsilon постоји \delta, такво да је за сваку поделу \Pi за коју важи да је њен параметер мањи од \delta, тј. d\left(\Pi\right)<\delta, испуњено:

\left | \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\Delta x_i-I\right \vert<\epsilon


То се другачије може записати као:

I=\lim_{d\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf\left(\xi_i\right)\Delta x_i '= \int_{a}^{b} f\left(x\right) dx,

где је  \int_{a}^{b} запис за суму од a до b када \delta тежи нули (тиме и n тежи бесконачности), а \Delta x_i је замењено диференцијалом, пошто је диференцијал у некој тачки заправо прираштај по x-оси у тој тачки, што је и смисао \Delta x_i када \delta тежи нули.

Ако постоји одређени интеграл функције f на интервалу \left [ a,b \right], кажемо да је функција f интеграбилна на \left [ a,b \right].

Види још[уреди]

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]