Околина (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Скуп V у равни је околина тачке p ако се мали диск око p налази у V.
Правоугаоник није околина ниједног од својих углова.

У топологији и сродним математичким областима, околина је један од основних појмова у тополошком простору. Интуитивно говорећи, околина тачке је скуп који садржи тачку у коме можемо да се померамо мало, без да напустимо скуп.

Овај концепт је блиско повезан са концептима отворног скупа и унутрашњости.

Дефиниција[уреди]

Нека је X тополошки простор, а p је тачка у X, околина тачке p је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи p,

p \in U \subseteq V.

Ваља имати у виду да околина V не мора и сама да буде отворен скуп. Ако је V отворен, онда се ради о отвореној околини. Неки аутори захтевају да околине буду отворене, па је важно да се води рачуна о конвенцијама које се користе.

Ако је S подксуп од X, околина од S је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи S. Следи да је скуп V околина скупа S, ако и само ако је околина свих тачака у S.

У метричком простору[уреди]

Скуп S у равни и униформна околина V од S.

У метричком простору M = (X, d), скуп V је околина тачке p ако постоји отворена кугла са центром p и полупречником r,

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

која се садржи у V.

V се назива униформном околином скупа S ако постоји позитиван број r такав да за све елементе p из S,

B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

се налази у V.

За r>0, r-околина S_r скупа S је скуп свих тачака у X које су на раздаљини мањој од r од S (или еквивалентно, S_r је унија свих отворених кугли полупречника r са центром у тачки S).

Директна последица је да је r-околина униформна околина, и да је скуп униформна околина ако и само ако садржи r-околину за неку вредност r.

Примери[уреди]

Ако је дат скуп реалних бројева, R са уобичајеном еуклидском метриком и подскуп V дефинисан као

V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right),

тада је V околина за скуп N, природних бројева, али није униформна околина овог скупа.

Литература[уреди]

  • Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256. 
  • Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263. 
  • Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.