Околина (математика)
Из Википедије, слободне енциклопедије
У топологији и сродним математичким областима, околина је један од основних појмова у тополошком простору. Интуитивно говорећи, околина тачке је скуп који садржи тачку у коме можемо да се померамо мало, без да напустимо скуп.
Овај концепт је блиско повезан са концептима отворног скупа и унутрашњости.
Садржај |
[уреди] Дефиниција
Нека је X тополошки простор, а p је тачка у X, околина тачке p је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи p,
Ваља имати у виду да околина V не мора и сама да буде отворен скуп. Ако је V отворен, онда се ради о отвореној околини. Неки аутори захтевају да околине буду отворене, па је важно да се води рачуна о конвенцијама које се користе.
Ако је S подксуп од X, околина од S је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи S. Следи да је скуп V околина скупа S, ако и само ако је околина свих тачака у S.
[уреди] У метричком простору
У метричком простору M = (X, d), скуп V је околина тачке p ако постоји отворена кугла са центром p и полупречником r,
која се садржи у V.
V се назива униформном околином скупа S ако постоји позитиван број r такав да за све елементе p из S,
се налази у V.
За r>0, r-околина Sr скупа S је скуп свих тачака у X које су на раздаљини мањој од r од S (или еквивалентно, Sr је унија свих отворених кугли полупречника r са центром у тачки S).
Директна последица је да је r-околина униформна околина, и да је скуп униформна околина ако и само ако садржи r-околину за неку вредност r.
[уреди] Примери
Ако је дат скуп реалних бројева, R са уобичајеном еуклидском метриком и подскуп V дефинисан као
тада је V околина за скуп N, природних бројева, али није униформна околина овог скупа.
[уреди] Литература
- -{Kelley}-, -{John L.}- (1975). -{General topology}-. -{New York: Springer-Verlag}-.
- -{Bredon}-, -{Glen E.}- (1993). -{Topology and geometry}-. -{New York: Springer-Verlag}-.
- -{Kaplansky}-, -{Irving}- (2001). -{Set Theory and Metric Spaces}-. -{American Mathematical Society}-.
