Ојлерова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Овај чланак објашњава Ојлерову формулу у области комплексне анализе. За Ојлерову формулу у теорији графова и полиедарској комбинаторици видети чланак Ојлерова карактеристика.

Ојлерова формула, која је добила име по швајцарском математичару Леонарду Ојлеру повезује тригонометријске функције са комплексним експонентима, а тврди да за било који реални број x важи,

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!

где је e основа природног логаритма, i имагинарна јединица, а cos и sin тригонометријске функције (овде се подразумева да се при израчунавању синуса и косинуса угао x изражава у радијанима, а не у степенима). Формула важи и ако је x комплексан број, па, због тога, неки аутори под Ојлеровом формулом подразумевају њену уопштену комплексну варијанту.[1]

Ричард Фајнман је назвао Ојлерову формулу „нашим драгуљем“ и „најзначајнијом формулом у математици“.[2]

Историја[уреди]

Ојлерову формулу је први доказао енглески математичар Роџер Коутс 1714. године у облику

 \ln(\cos(x) + i\sin(x))=ix \ ,

где је ln природни логаритам, односно логаритам са основом e.[3]

Ојлер је први објавио једнакост у њеном данашњем облику 1748. године, заснивајући свој доказ на чињеници да су бесконачни редови на које се могу разложити обе стране једнакости међусобно једнаки. Међутим, ниједан од њих није видео геометријско тумачење формуле: представљање комплексних бројева као тачака у комплексној равни ће се појавити у математици тек 50 година касније, захваљујући Каспару Веселу. Ојлер је сматрао природним увођење комплексних бројева много раније у математичком образовању него што се то данас чини. У свом елементарном уџбенику алгебре[4], он их уводи на почетку и затим их користи на природан начин кроз целу књигу.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co.. стр. 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  2. ^ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. стр. 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  3. ^ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer. 
  4. ^ Елементи алгебре Леонарда Ојлера

Литература[уреди]

  • Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co.. стр. 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  • Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. стр. 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  • John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer. 

Спољашње везе[уреди]