Параболичке координате

Из Википедије, слободне енциклопедије

Параболички координатни систем у две димензије има координатне линије представљене конфокалним параболама. У три димензије параболичке координате се добијају ротирањем дводимензионалнога система око оси симетрије парабола.

Parabolic coords.svg

Дводимензионалне параболичке координате[уреди]

У дводимензионалном систему параболичке координате (\sigma,\;\tau) одређене су са:

x=\sigma\tau,
y=\frac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2).

Криве константнога \sigma обликују конфокалне параболе:

2y=\frac{x^2}{\sigma^2}-\sigma^2

које су отворене нагоре. С друге стране криве константнога \tau обликују конфокалне параболе:

2y=-\frac{x^2}{\tau^2}+\tau^2

које су отворене надоле. Фолуси обе параболе су у исходишту.

Ламеови коефицијенти[уреди]

Ламеови коефицијенти параболичких координата су:

H_\sigma=H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2}.

Елементи површине су:

dS=(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau,

а Лапласијан је:

\Delta\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\tau^2}\right).

Тродимензионалне параболичке координате[уреди]

Parabolic coordinates 3D.png

Постоје два облика тродимензионалних параболичких координата. Према једној верзији параболе се ротирају око своје оси симетрије, па је трансформација координата:


x = \sigma \tau \cos \varphi

y = \sigma \tau \sin \varphi

z = \frac{1}{2} \left(\tau^{2} - \sigma^{2} \right)

Ос параболопоида слаже се са z оси, а азимутални угао \phi је дефинисан као:


\tan \varphi = \frac{y}{x}

Површи константнога \sigma чине конфокалне параболоиде:


2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

који су отворени нагоре. Површи константнога \tau чине конфокалне параболоиде:


2z = -\frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

који су отворени надоле. Риманов метрички тензор тога координатнога система је:

 g_{ij} = \begin{bmatrix} \sigma^2+\tau^2 & 0 & 0\\0 & \sigma^2+\tau^2 & 0\\0 & 0  & \sigma^2\tau^2 \end{bmatrix}

Ламеови коефицијенти[уреди]

Ламеови коефицијенти параболичких координата у тродимензионалном простору су:

H_\sigma=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\varphi=\sigma\tau.

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

dV=h_\sigma h_\tau h_\varphi=\sigma\tau(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau\,d\varphi,

а Лапласијан је

\nabla^2\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left[\frac{1}{\sigma}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sigma\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma} \right)+\frac{1}{\tau}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\tau\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}\right)\right]+\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.

Друга верзија тродимензионалних параболичких координата[уреди]

\begin{cases}
x=\sqrt{\xi\eta}\cos\varphi, \\
y=\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi, \\
z=\dfrac{1}{2}(\xi-\eta).
\end{cases}

Ламеови коефицијенти су онда:

\begin{matrix}
H_\xi = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\xi}} \\ 
H_\eta = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\eta}} \\ 
H_\varphi = \sqrt{\eta \xi} \end{matrix}.

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

dV=\frac{\xi + \eta}{4} \,d\xi\,d\eta\,d\varphi,

а Лапласијан је

\nabla^2\Phi=\frac{4}{\xi+\eta}\left[\frac{\partial}{\partial\xi}\left(\xi\frac{\partial\Phi}{\partial\xi} \right)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\eta\frac{\partial\Phi}{\partial\eta}\right)\right]+\frac{1}{\xi\eta}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.

Литература[уреди]

  • Параболичке координате
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X

Види још[уреди]