Параболични цилиндрични координатни систем

Из Википедије, слободне енциклопедије
Parabolic cylindrical coordinates.png

Параболични цилиндрични координатни систем је тродимензионални координатни систем. Настаје пројекцијом дводимензионалнога параболичкога координатнога система у смеру z-оси. Координатне површи су због тога конфокални параболички цилиндри.

Дефиниција[уреди]

Параболичке цилиндричне координате (\sigma, \tau, z) дефинишу се помоћу картезијевих координата као:

x = \sigma \tau\,
y = \frac{1}{2} \left(\tau^{2} - \sigma^{2} \right)
z = z\,

Површи константнога \sigma обликују конфокалне параболичне цилиндре:

2y=\frac{x^2}{\sigma^2}-\sigma^2

које су отворене нагоре. С друге стране површи константнога \tau обликују конфокалне параболичне цилиндре:


2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

који су отворени у супротном смеру. Полумер r има једноставну формулу:


r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \left(\sigma^{2} + \tau^{2} \right)

која је корисна за решавање Хамилтон-Јакобијеве једначине у параболичким координатама.

Parabolic coords.svg

Ламеови кооефицијенти[уреди]

Ламеови кооефицијенти за параболичке цилиндричке координате \sigma и \tau су:


h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}
h_{z}=1\,.

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = h_\sigma h_\tau h_z=\left(\sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz

а Лапласијан је дан са:


\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}

Параболични цилиндрични хармоници[уреди]

Лапласова једначина у параболичном цилиндричном систему може да се реши сепарацијом варијабли, па се решење Лапласове једначине може претпоставити као:

V=S(\sigma)\,T(\tau)\,Z(z)

а Лапласова једначина се након дељења са V пише као:

\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}
\left[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}\right]+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0

Пошто је део по Z  даде сепарирати онда можемо да пишемо:

\frac{\ddot{Z}}{Z}=-m^2

Други део може да се напише као:

\left[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}\right]=m^2(\sigma^2+\tau^2)

Тај део опет може да се сепарира на два дела односно на:

\ddot{S} - (m^2\sigma^2+n^2)S=0
\ddot{T} - (m^2\tau^2   -n^2)T=0

Решења те три различите сепариране једначине је:

Z_m(z)=A_1\,e^{imz}+A_2\,e^{-imz}\,
S_{mn}(\sigma) = A_3\,y_1(n^2/2m,\sigma\sqrt{2m}) + A_4\,y_2(n^2/2m,\sigma\sqrt{2m})
T_{mn}(\tau)   = A_5\,y_1(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m}) + A_6\,y_2(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})

Решења друге и треће једначине представљају параболичке цилиндричне функције. Коначно решење је облика:

V(\sigma,\tau,z)=\sum_{m,n} A_{mn} S_{mn} T_{mn} Z_m\,

Литература[уреди]