Питагорино дрво

Из Википедије, слободне енциклопедије

Питагорино дрво је равански фрактал конструисан помоћу квадрата. Добио је име по Питагори зато што свака тројка суседних квадрата својим заједничким теменима одређује правоугли троугао, у облику који се традиционално користи за приказ Питагорине теореме.

Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg

Ако је страница првог квадрата дужине 1, цело Питагорино дрво може стати у правоугаоник величине 6×4. Ситнији детаљи дрвета подсећају на Левијеву Ц криву.

Фрактал је први конструисао холандски математичар Алберт Босман (хол. Albert E. Bosman) 1942. године[1][2].

Садржај

Конструкција [уреди]

Конструкција Питагориног дрвета почиње квадратом. Над њим се конструишу два мања квадрата, са коефицијентом сличности ½√2, тако да сваки квадрат има по једно заједничко теме са преостала два. Исто се понавља рекурзивно над два мања квадрата, ad infinitum. Следеће илустрације приказују првих неколико итерација у поступку конструкције.

Конструкција Питагориног дрвета, ниво 1
Ниво 2
Ниво 3
Ниво 4
Ниво 0 Ниво 1 Ниво 2 Ниво 3

Површина [уреди]

n-та итерација у конструкцији додаје 2n квадрата површине (½√2)2n, са укупном површином једнаком 1. Зато се чини да се површина дрвета бесконачно увећава када n→∞. Ипак, како се неки од квадрата преклапају почевши од пете итерације, дрво има коначну површину, с обзиром да је смештено у правоугаоник 6×4.

Лако је показати да за површину A Питагориног дрвета важи 5 < A < 18, а уз додатни напор она се може и прецизније ограничити. Међутим, сама вредност A је непозната.

Варијације [уреди]

Ако се уместо два иста квадрата, у новом кораку они конструишу тако да је један већи од другог (односно да правоугли троугао одређен теменима три суседна квадрата не буде једнакокраки), резултат ће бити „Питагорино дрво на ветру“.

Ниво 0
Ниво 1
Ниво 2
Ниво 5
Ниво 0 Ниво 1 Ниво 2 Ниво 5

Извори [уреди]

  1. ^ „De ware geschiedenis van de BOOM VAN PYTHAGORAS“. www.arsetmathesis.nl Приступљено 8. 7. 2009 
  2. ^ „De boom van Pythagoras (A.E. Bosman)“. www.wisfaq.nl Приступљено 8. 7. 2009 

Спољашње везе [уреди]

Broom icon.svg Овај чланак користи спољашње везе на начин који није по Википедијиним правилима или смерницима. Молимо вас да унапредите овај чланак уклањањем сувишних или неодговарајућих веза, и претварањем корисних веза у референце на одговарајућим местима.
Погледајте како се мења страна за помоћ, или страну за разговор. Уклоните ову поруку када завршите.
Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Питагорино дрво