Појина конјектура

Из Википедије, слободне енциклопедије
Сумарна Лиувилова функција L(n) за вредности до n=10^7. Видне осцилације се јављају услед првих нетривијалних нула Риманове зета функције.

Појина конјектура је математичка конјектура која тврди да 'већина' (то јест више од 50%) природних бројева мањих од било ког датог броја имају непаран број простих делилаца. Конјектуру је поставио мађарски математичар Ђерђ Поја 1919. Ова конјектура је оповргнута, а величина најмањег контрапримера се често користи да се покаже како конјектура може бити тачна за многе бројеве, а да ипак постоји контрапример.

Исказ[уреди]

Појина конјектура тврди да за свако n (>1), ако поделимо природне бројеве мање од n (искључујући 0) у оне који имају непаран број простих делилаца и оне који имају паран број простих делилаца, онда ће прва група имати више чланова, или ће обе групе имати исти број чланова. (Поновљени прости делиоци се рачунају одговарајући број пута - стога 24 = 23 * 31 има 3+1 = 4 простих делиоца, што је паран број, док 30 = 2 * 3 * 5 има 3 проста делиоца, што је непаран број.)

Такође, конјектура се може исказати преко сумарне Лиувилове функције. Конјектура гласи

L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0

за свако n. Овде је \lambda(k)=(-1)^{\Omega(k)} позитивно ако је број простих делилаца целог броја k паран, а негативно ако је непаран. Функција велико омега броји укупан број простих делилаца целог броја.

Оповргавање[уреди]

Појину конјектуру је оповргао Ц. Б. Хаселгров 1958. године. Он је показао да за конјектуру постоји контрапример, за који је проценио да се налази око броја 1.845 × 10361.

Експлицитан контрапример, n=906180359 је дао Р. С. Леман 1960; најмањи контрапример је n=906150257, а нашао га је Минору Танака 1980.

Појина конјектура не важи за већину вредности n у области 906150257 \le n\le 906488079. У овој области функција има максимум од 829 у вредности n=906316571.


Литература[уреди]

  • G. Pólya, "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  • Haselgrove, C.B. (1958). „A disproof of a conjecture of Pólya“. Mathematika 5: 141-145. 
  • R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.
  • Ерик В. Вајсштајн Појина конјектура на сајту Mathworld