Проблем три тела

Из Википедије, слободне енциклопедије


У физици, проблем три тела је проблем рачунања међусобне интеракције 3 тела. Овај проблем је решен тек 1912. Решио га је Карл Судман, иако су у пре њега овај проблем решавали бројни физичари од којих су најзначајнији Исак Њутн, Ојлер и Лагранж.

Судманова теорема за проблем три тела[уреди]

Фински математичар Карл Сундман је 1912. нашао решење за проблем три тела. Решење је за све реалне t1/3. Ова серија је конвергентна за свако реално t изузев почетних података који одговарају нули угаоног момента. Важан доказ овог резултата је чињеница да је радијус конвергенције одређен раздаљином најближој јединствености. Стога је потребно проучити јединственост проблема са три тела. Следећи проблеми су:

  1. Двоструки судар
  2. Троструки судар

Судари, без обзира да ли су двоструки или троструки, су некако невероватни јер они одговарају скупу почетних података. За одговарајуће решење не постоји критеријум, којим ће се поставити у почетни положај, у циљу избегавања судара.

  1. Одредио је промену променљивих и наставио је да аналитички решева двоструки судар, које се другачије зове регуларизација.
  2. Затим је доказао да до троструког судара, долази једино кад је угаони момент C нестане, ограничавањем почетних података на C различито од нуле, он је уклонио све стварне појединости из измењене једначине за проблем три тела.
  3. Следећи корак се састоји од доказивања да кад је C различито од нуле, да онда нема троструког судара већ и користећи Каучијеву теорију егзистенције за деифенцијалне једначине, закључује се да нема сложенихјединствености у низу.
  4. Последњи корак је да се нађе трансформација, које пресликавају овај низ на јединицу диска.

Ово је завршни доказ Сундманове теореме.

Нажалост одговарајући конвергентни ред конвергира веома споро.

Ограничени проблеми са три тела[уреди]

Њутновски проблем три тела[уреди]

Систем од N тела која сва међусобно интерагују привлачним силама једна на другу, ће еволуирати временом по Другом Њутновом закону

\ddot{\mathbf{x}}_i(t)=\sum_{1\leqslant j\leqslant N,\,j\neq i}\frac{\mathbf{F}_{ij}}{m_j},

где је \mathbf{x}_i:\mathcal{O}\to\mathbb{R}^3, \mathcal{O}\subset\mathbb{R} позиција тела i за време t, а Fij је сила којом на тело i делује тело ј, и маса mj је маса тела j.

Проблем N-тела се односи на проучавање динамичких особина система једначина другог реда. Једино је потребно одредити врсту силе F и масу сваког елемента система.

\mathbf{F}_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^2}\hat{\mathbf{r}}_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\mathbf{r}_{ij},

где је G гравитациона константа и \mathbf{r}_{ij}=\mathbf{x}_j-\mathbf{x}_i је вектор који показује од позиције тела i до тела j. Симулатор се примењује гравитациону силу када је проблем три тела. Сва три тела имају једнаке масе, а G је једнако 1.

Ојлеров проблем три тела[уреди]

Ојлеров проблем три тела се користи да опише кратања честица под утицајем два центра која привлаче честицу са централном силом, чији интезитет опада са расто растојања, као по закону обрнутих квадрата(Њутнов закон гравитације, Кулонов закон). Примери Ојлеровог проблема су планете које се налазе у гравитационом пољу две звезде. Интезитет два инверзна квадрата силе не мора да буде једнак, звезде не морају да буду истих маса.

Теорија Лагранжове тачке[уреди]

Слика која приказује Лагранжове тачке у систему у коме је једно тело далеко масивније од другог (нпр. Сунце и Земља. У таквом систему се чини се да тачке L3–L5 налазе на истој орбити као мање тело, мада се заправо налазе мало изван његове орбите.

У систему три тела, од којих једно има занемарљиву масу у поређењу са преостала два, постоји пет тачака у којима су резултанте механичких сила једнаке нули. Кад су у систему три или више тела, једначине које описују стање система су сложене. Лагранж је претпоставио да је трајекторија објекта одређена путањом која минимизује акцију у времену. Код решавања проблема са три тела једно тело има занемарљиву масу у односу на преостала два. Та два тела се морају кретати кружно, због заједничког центра масе, да услед узајамног гравитационог привлачења не би пала једно на друго. Нека је маса та два тела означена са М1 и М2 а маса трећег тела са м. Такође имамо пет тачака (L1, L2, L3, L4, L5 ). Тела М1 и М2 ротирају око центра маса, а тело масе м ротира око једног од тела М1 и М2, али се и креће заједно са њим око центра система М1 и М2.

Такође, може се претпоставити да је М1 >> М2. Тела М1 и М2 се међусобно привлаче и такође привлаче м. Ако је референтни систем везан за тело М1, укупна сила (резултанта) која делује на ово тело је практично једнака нули, што значи да ће то тело остати у равнотежи, у „вечној тачки“. Ако би се, на пример, у ту тачку поставио сателит, он би практично неограничено остао у истом положају. Нпр. сателити International Sun/Earth Explorer 3, Advanced Composition Explorer (ACE), који се налазе између Сунца и Земље.

Награда краља Оскара II[уреди]

Краљ Шведске Оскар II је око 1800. основао награду за онога ко нађе решење овог проблема.

У случају да проблем не буде решен, било ко други који би дао значајан допринос класичној механици био би сматран вредним те награде. Награду је на крају добио Поенкаре, иако није решио оригинални проблем. Његова верзија је одштампана са бројним важним идејама које су довела то открића теорије хаоса. Оригиналан проблем је решио Карл Сундман.

Литература[уреди]

  • Diacu, F.: The solution of the n-body Problem, The Mathematical Intelligencer,1996,18,p. 66–70
  • Mittag-Leffler, G.: The n-body problem (Price Announcement), Acta Matematica, 1885/1886,7
  • Saari, D.: A visit to the Newtonian n-body Problem via Elementary Complex Variables, American Mathematical Monthly, 1990, 89, 105–119
  • Newton, I.: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687: also English translation of 3rd (1726) edition by I. Bernard Cohen and Anne Whitman (Berkeley, CA, 1999).
  • Qiudong Wang: The global solution of the n-body problem (Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (ISSN 0923-2958), vol. 50, no. 1, 1991, pp. 73-88., URI retrieved on 2007-05-05)
  • Sundman, K. E.: Memoire sur le probleme de trois corps, Acta Mathematica 36 (1912): 105–179.
  • Tisserand, F-F.: Mecanique Celeste, tome III (Paris, 1894), ch.III, a. pp. 27.
  • Hagihara, Y: Celestial Mechanics. (Vol I and Vol II pt 1 and Vol II pt 2.) MIT Press, 1970.
  • Boccaletti, D. and Pucacco, G.: Theory of Orbits (two volumes). Springer-Verlag, 1998.
  • Havel, Karel. N-Body Gravitational Problem: Unrestricted Solution (ISBN 978-0-9689120-5-8.). Brampton: Grevyt Press, 2008. http://www.grevytpress.com
  • Saari, D.G. and Hulkower, N. D., “On the Manifolds of Total Collapse Orbits and of Completely Parabolic Orbits for the n-Body Problem,” Journal of Differential Equations, 1981, 41, 27-43

Спољашње везе[уреди]