Раселов парадокс

Из Википедије, слободне енциклопедије

Канторова теорија скупова са краја 19. века није била заснована аксиоматски па се зато називала наивна теорија скупова. Међутим она је имплицитно у себи садржала неколико аксиома од којих је једна била да за свако својство можемо формирати скуп свих елемената који имају то својство.

Полазећи од ове аксиоме Бертранд Расел је 1903. конструисао парадокс, по њему назван Раселов парадокс који је оборио наивну теорију скупова. Тај парадокс се може исказати на више начина и у више форми а суштина је следећа:

Ако за свако својство постоји скуп свих објеката који задовољавају то својство онда то исто важи и за својство „скуп не припада сам себи“. Ово својство је врло природно јер је врло тешко наћи скуп који припада сам себи. Означимо са X скуп објеката за које важи ово својство. Да ли X припада сам себи? Ако припада онда значи да задовољава својство „скуп не припада сам себи“ што је контрадикција. Ако пак не припада сам себи онда ће да задовољи тражено својство па ће баш да припада себи, што је опет контрадикција.

V=\{X\mid X\not\in X\}

До појаве овог парадокса веровало се у непобитност математичке истине и непротивуречност Канторове теорије скупова. После Раселовог парадокса уследила је и серија других парадокса од којих посебно издвајамо Ришаров парадокс. Њиховом појавом математичка грађевина је била озбиљно уздрмана до самих темеља и претила је опасност да се сруши. Криза математике је решавана појавом нових праваца (Расел - логицизам, Брауер - интуиционализам, Хилберт - формализам).

Једна варијанта исказивања Раселовог парадокса је: Постоје каталози књига из библиотеке. Ти каталози се такође сматрају за књиге. Неки каталози садрже себе, а неки не (у каталогу). Можемо посматрати један нови каталог у који су пописани сви каталози који не садрже себе. Да ли овај каталог садржи сам себе? Поново ће оба случаја анализирања довести до контрадикције.

Једно од могућих превазилажења Раселовог парадокса је да се скуп свих скупова не сматра за скуп, него за класу (класа је овде уопштење појма скупа).