Рејнолдсов број

Из Википедије, слободне енциклопедије

Озборн Ренојлдс, енглески физичар.

Рејнолдсов број је бездимензиона величина и кључни параметар струјања вискозног флуида. С њиме се бројно дефинише разграничење између ламинарног и турбулентног струјања. Има физикално значење као однос сила инерције и вискозности. На његову бројну вредност утиче више параметара струјања флуида. Користи се за довођење карактеристика струјања на упоредиве услове, сличног струјног спектра.^[1]

Означава се с R_e, по енглеском физичару Озборну Ренојлдсу (Озборну Ренојлдсу) (1842-1912), аутору више радова из области хидродинамике. Један од најзначајнијих му је од научних доприноса, везаних за увођење R_e, експериментални и теоредски доказ разграничења ламинарног и турбулентног струјања флуида.

Садржај

1 Коришћене физичке величине
2 Историјат
- 2.1 Уочавање феномена
- 2.2 Рејнолдсов оглед
3 Дефиниција
4 Употреба
5 Типичне вредности Рејнолдсовог броја
- 5.1 Примери из човековог окружења
- 5.2 Летелице, птице и инсекти
6 Види још
7 Референце
8 Коришћени извори
9 Спољашње везе

[уреди] Коришћене физичке величине

Основне
- $\ l$ је дужина [m]
- $\ m$ је маса [kg]
- $\ t$ је време [s]
Изведене
- ${\bold \mathrm v}$ је брзина [m/s]
- $\ A$ је површина [m²]
- $\ F$ је сила [kgm/s²]
- ${\ \rho}$ је густина [kg/m³]
- $\ \mu$ је вискозност[kg/ms]
- $\ \nu$ је кинематска вискозност ( $\ \nu = {\mu}/{\rho}$ ) [m²/s]
- $\ p$ је притисак [kg/ms²]

Сила отпора кугле, у зависности од брзине струјања ваздуха.

[уреди] Историјат

[уреди] Уочавање феномена

При испитивању аеротела у облику кугле, мерено у одвојеним аеротунелима, добијени су различити резултати. У Ајфеловом аеротунелу у Паризу 1911.г. је добијена вредност коефицијента отпора C_x = 0,176, а у Прантловом (Прантл) у нем. Gottingen-у 1912.г. је измерено C_x = 0,44.^[2]

Овај феномен је постао предмет вишегодишњих истраживања многих научника, у области механике флуида. У одвојеним аеротунелима је мерен отпор и других аеротела, а и код њих је уочен исти феномен.

Сила отпора ( Rx ), у принципу, представља параболичну функцију другог реда у зависности од брзине струјања ваздуха око аеротела. Код одређене вредности брзине је примећен дисконуитет те функције. При одређеној брзини, сила отпора се нагло смањи и пређе на другу параболичну зависност, померену у десно на једну од парабола из фамилије могућих (приказано на слици).

Прантл је теорецки и експериментално разјаснио основе физикалности дотичног феномена. Он је проучавајући струјно поље око кугле, још 1914.г. закључио да је та промена отпора последица промене струјног поља око кугле.

Слика опструјавања кугле и последични коефицијент отпора.

При мањим брзинама настаје раније одвајање струјница ваздуха и формира се вихорно поље на већем делу кугле, с почетком на пресеку под углом од око 80⁰. Са порастом брзине се вихорно поље смањује. Одвајање струјница ваздуха се одлаже на пресек кугле, под углом између 110⁰ и 140⁰ ( слика десно ). ^[3]

Раније одвајање ваздушне струје проузрокује већу разлику притиска, испред и иза аеротела, што значи и већи отпор. Тај прираштај отпора се у аеродинамици идентификује као отпор облика аеротела, услед утицаја вискозности флуида.

При ламинарном струјању долази до ранијег одцепљења струјница, у односу на турболентно, при коме услед додатне енергије ротације, ваздушне честице дуже прате контуру аеротела. При малим брзинама је ламинарно струјање флуида, a на одређеној, повећаној брзини исто прелази у турбулентно.^[4]

Илустрација поставе огледа Озборна Ренојлдса.

[уреди] Рејнолдсов оглед

Озборн Ренојлдс је, са својим огледом струјања воде кроз цев, дао посебан допринос истраживању феномена нагле промене отпора аеротела на одређеној брзини струјања. Оглед је реализовао с посудом, напуњеном с водом, која истиче кроз хоризонталну, провидну цев константнод пречника D. Брзина истицања воде се регулише са славином. У функцији визуализације струјања воде, у ток се из посебног суда упушта обојени раствор.^[5]

При малим брзинама истицања воде, обојене честице праве паралелан траг с осом цеви и задржавају своје индивидуалне особине. С повећањем брзине, достиже се тренутак, када честице обојеног раствора, на одређеној удаљености од почетка цеви, почињу да се мешају с водом у цеви, расипајући се по читавој њеној ширини. Удаљеност почетка губитка индивидуалности честица раствора је већа уколико је проток кроз цев мањи. Та брзина преображаја, из ламинарног у турбулентно струјање, по Рејнолдсу се зове критична, V_k. Овим огледом је, у првом делу, доказана појава ламинарног, а у другом делу турбулентног режима струјања.

Варирајући пречник цеви D, Рејнолдс је открио да је при константној температури воде, увек исти производ пречника цеви и критичне брзине, DV_k=const. Значи, да с порастом пречника цеви D се раније дешава преображај ламинарног у турбулентно струјање и обрнуто. При промени температуре воде, истој се мења вредност вискозитета $\ \nu$ и преображај облика струјања се карактерише с односом његових параметара: $\frac{{\ \bold \mathrm v}D}{\nu}=const$ . Тај однос је назван критични Рејнолдсов број R_ek. Првим мерењима, у овим опитима, Рејнолдс је добио R_ek=2200. Касније, са изменом облика улазног дела цеви (колектора), је добио R_ek=22800.^[6]

Упоређујући режиме опструјавања око аеротела и протицања воде кроз цев Рејнолдсовог огледа, научници су уочили потпуну аналогију.

Опструјавање кугле с $\,{\bold \mathrm V}<\,{\bold \mathrm V}_{kr}$ .

Први закључује енгл. Rayleigh ( 1913.г. ), да су вредности аеродинамичких коефицијената отпора C_x, за куглу, приближно једнаки за исте производе DV. То је била прва, приближна, примена Рејнолдсовог броја.^[7]

[уреди] Дефиниција

Показатељ утицаја Рејнолдсовог броја се добија кроз процес бездимензијске анализе.

Према теорији сличности физичких процеса постоји неколико метода за извођење и доказ:

Развојем успостављене функције у ред.
Фракционом анализом, посредством односа сила и односа делова једначине енергије.
Бездимензијоним обликом диференцијалних једначина.
Трансформацијом једначине Навијер-Стокса. ^[8]

Опструјавање кугле с $\,{\bold \mathrm V}>\,{\bold \mathrm V}_{kr}$ .

[уреди] Метод бездимензијске анализе с развојем функције у ред

За пример у аеродинамици, с предпоставком да коефицијенат аеродинамичке силе зависи од облика аеротела, његовог положаја у односу на струјање и од вискозности флуида μ, у општој функцији је:^[9]

$C_F = f\left(\rho,\bold \mathrm v,l,\mu,\kappa,\alpha,\beta\right)$

Где су: κ облик аеротела, α нападни угао и β бочни угао.

Предходна функција се може развити у ред:

$C_F =\sum A \rho^x{\bold \mathrm v}^yl^z\mu^p\kappa^q\alpha^r\beta^s$

Анимација трага турбулентног струјања

Применом бездимензијске анализе, мора се постићи индентичност димензија леве и десне стране једначине:

$Dim\left[C_F\right] \equiv Dim\left[\rho^x{\bold \mathrm v}^yl^z\mu^p\right]$

Коефицијент аеродинамичке силе C_F нема димензију, те и и однос величина на десној страни једначине мора бити без димензије. Значи, обе стране једначине су без димензије:

$Dim\left[C_F\right] = 1\quad\Rightarrow\quad Dim\left[\rho^x{\bold \mathrm v}^yl^z\mu^p\right] = 1$

Из овога услова се одређују експоненти утицајних физичких величина, у предпостављеној функцији.

$Dim\left[C_F\right] = 1\Rightarrow l^0 m^0 t^0 \equiv \left( l^{-3} m \right)^x \left( l\, t^{-1} \right)^y l^z \left( l^{-1} m\, t^{-1}\right)^p \Rightarrow l^0 m^0 t^0 \equiv l^{-3x+y-p} m^{x+p} t^{-y-p}\quad \Rightarrow$

$0 = -3x+y-p;\quad 0 = x+p;\quad 0 = y+p$

Заменом решења овог система једначина се добија:

$\,x = \,-p;\quad\, y = \,-p;\quad\, z = \,-p\quad\Rightarrow\quad C_F = \sum A\left(\frac{\bold \mathrm {v}l}{\nu}\right)^p\kappa^q \alpha^r \beta^s$

Пошто су A, p, q, r и s потпуно произвољне вредности, произилази да је:

$C_F = f\left(\frac{\bold \mathrm {v}l}{\nu}, \kappa, \alpha, \beta \right)$

Где је кинематска вискозност: $\ \nu = {\mu}/{\rho}$ .

Ротација честица флуида, при турбулентном струјању.

На овај начин је добијена функција коефицијената аеродинамичких величина, у зависности од облика и положаја аеротела у струји флуида и од односа $\frac{\bold \mathrm {v}l}{\nu}$ . Овај бездимензиони однос карактерише режим и облик струјања флуида око аеротела. Тај однос је назван Рејнолдсов број, у знак признања физичару Ренојлдсу, за допринос у разјашњењу феномена утицаја измене карактера опструјавања тела флуидом на вредности карактеристика струјања. Обележава се са:

$\, R_e = \frac{\bold \mathrm {v}l}{\nu}$

Где је $\bold \mathrm {v}$ брзина струјања флуида, $\, \nu$ кинематска вискозност флуида и $\, l$ карактеристична дужина (код кугле, цеви и пројектила пречник, а код аеропрофила, крила и авиона тетива итд.).

[уреди] Метод бездимензијске анализе помоћу једначина Навијер-Стокса

Симулација струјања, помоћу Навијер-Стоксових једначина, за R_e<R _{e_kr} и за R_e > R _{e_kr} ( с малим фактором турбуленције)

Ефикасност симулације дводимензионалног струјања око цилиндричног тела, с употребом једначина Навијер-Стокса, демонстриран је у НАСА, на рачунару Греј C-90 (енгл. Graj C-90). Слика графичких резултата је дата десно.

Математички доказ, да су сва струјања међусобно упоредива, ако се одвијају с истим Рејнолдсовим бројем, је могућ и применом принципа Навијер-Стокса (Навие-Стокс) на једначину количине кретања. ^[10]

$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \mathbf{f}$

Где су оператори:

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z};\quad \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

Делови једначине имају физичко значење:

$\overbrace{\rho \Big( \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{ \begin{smallmatrix} \text{C}\\ \end{smallmatrix}} + \underbrace{\vec{v} \cdot \nabla \vec{v}}_{ \begin{smallmatrix} \text{D} \\ \end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{B}} = \overbrace{\underbrace{-\nabla p}_{ \begin{smallmatrix} \text{E} \\ \end{smallmatrix}} + \underbrace{\mu \nabla^2 \vec{v}}_{\text{G}}}^{\text{H}} + \underbrace{\mathbf{f}}_{ \begin{smallmatrix} \text{I} \\ \end{smallmatrix}}$

B - Специфична сила инерције, по јединици запремине (количина кретања)
C - Убрзање
D - Прираст убрзања
E - Градијент притиска
G - Вискозност
H - Прираст напона
I - Остале инерцијалне силе

Пошто сваки сабирак у једначини, понаособ, има димензију количине кретања kg/m³ m/s² = kg/m²s² неопходно је, за бездимензијонисање, целу једначину помножити с односом физичких величина који има реципротитет тих димензија.

То је однос величина: $\frac{l}{\rho \mathbf v^2}\, \left[\frac{m^2 s^2}{kg}\right]$

На основу предходног може се написати Навијер-Стоксова једначина у бездимензијском облику:

$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho l \mathbf{v}} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}$

Где је: $\mathbf{v'} = \frac{\vec{v}}\mathbf{v} \left[1\right];\, p' = p\frac{1}{\rho \mathbf{v^2}}\, \left[1\right];\, \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{l}{\rho \mathbf{v^2}}\, \left[1\right]; \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{l}{\mathbf{v}} \frac{\partial}{\partial t}\left[1\right];\, \ \nabla' = l\, \nabla\, \left[1\right]$

Заменом односа: $\frac{\mu}{\rho l \mathbf{v}} = \frac{1}{R_e}$

$\quad\Rightarrow\,\quad\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{1}{R_e} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}$

Коначно, једначина Навијер-Стокса за количину кретања, написана без бездимензијског наглашавања, ради лакшег читања, има изглед:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{R_e} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$

Ова једначина математички доказује да су струјања флуида међусобно упоредива, само када су при истом Рејнолдсовом броју.

[уреди] Физички смисао Рејнолдсовог броја

Физички смисао Рејнолдсовог броја се може дефинисати његовом математичком трансформацијом:

$\mathit{Re} = \frac{\bold \mathrm {v}l}{\nu}\,\frac{\rho {\bold \mathrm {v/l}}}{\rho {\bold \mathrm {v/l}}}= \frac{\rho\,\bold \mathrm {v^2}}{\mu\,\bold \mathrm {v/l}}$

Броиоц горње једначине се може везати за динамички притисак: $\quad \Rightarrow\,\quad q = \frac{\rho \mathbf v^2}{2}$

Имениоц је повезан за тангеционим напоном: $\quad \Rightarrow\,\quad \mu \frac{\mathbf v}{l} = \mu\frac{\partial{U}}{\partial{y}}$

Произилази да је на неки начин Рејнолдсов број однос притиска и тангенцијалног напона.

Рејнолдсов број се може дефинисати и у другом облику:

$\mathit{Re} = \frac{\rho\,\bold \mathrm {v^2}}{\mu\,\bold \mathrm {v/l}}\quad \Rightarrow\,\quad \mathit{Re} = \frac{F_{in}}{F_{visk}}$

Где су:

$\, F_{in} = \rho\,\bold \mathrm {v^2}$ , инерцијалне силе
$F_{visk} = \mu\,\bold \mathrm {v/l}$ , вискозне силе

Физички смисао Рејнолдсовог броја је однос инерцијалних и вискозних сила флуида.

[уреди] Употреба

Промена максималног коефицијента узгона с вредностима Рејнолдсовог броја.

Рејнолдсов број се користи као критеријум за одређивање услова преласка с ламинарног на турбулентно струјање и обратно.

Аеродинамичке карактеристике се приказују преко својих бездимензионих коефицијената, ради елиминисања утицаја, на њихову вредност, динамичког притиска струјања и величине аеротела. На тај начин се желело постићи, да на коефицијенте утичу само облик аеротела и његов положај, у односу на правац струјница ваздуха (флуида). Односно, да коефицијенти аеротела истог облика и положаја у односу на струјање, буду међусобно упоредиви без обзира на међусобну разлику величине аеротела и динамичког притиска. Кроз искуство, теоретска и експериментална истраживања, у условима различитих облика струјања, је доказано да то није довољно за потпуну упоредивост аеродинамичких коефицијената. Доказано је, да је потпуна упоредивост коефицијената једино могућа при истим Рејнолдсовим бројевима, а у области компресибилитета, и при истим Маховим бројевима.

Утицај Рејнолдосовог броја на однос максималног узгона и отпора.

Утицај вискозности, односно Рејнолдсовог броја се манифестује на аеродинамичке карактеристике, што је веома важно за крила и аеропрофиле летелица. Симулирати потребну сличност у аеротунелима је веома деликатно, приликом испитивања са смањеним димензијама и брзинама модела. Рејнолдсов број утиче, преко доприноса облика аеротела, на његов укупан отпор (како је предходно утврђено). Пошто је од утицаја на тренутак отцепљења ваздушне струје, он утиче и на максимални узгон аеротела. На сликама десно је дата илустрација тога утицаја на аеропрофиле и приказане летне карактеристике инсеката. ^[11]

Идеално би било, када би се упоређујући коефицијенти увек односили за исте Рејнолдсове бројеве, али то најчешће није могуће постићи. За случајеве, када се разликују, праве се корекције података сводећи их на услове истих Рејнолдсових бројева, како је дефинисано у аеродинамици и у технологијама аеротунела. Из тих разлога, се уз аеродинамичке коефицијенте увек наводе податци, за који Рејнолдсов број се односе.

[уреди] Типичне вредности Рејнолдсовог броја

[уреди] Примери из човековог окружења

Илустрација области Рејнолдсових бројева за инсекте , птице и разне врсте летелица.

Велики брод (Краљица Елизабета 2), када плови ~ 5×10⁹
Плави кит, при пливању ~ 3×10⁸
Човек при пливању ~ 4×10⁶
Крвоток у мозгу ~ 1×10²
Крвотог у аорти ~ 1×10³
Сперматозоид ~ 1×10^-4^[12]

[уреди] Летелице, птице и инсекти

На слици је нацртана илустрација, области вредности Рејнолдсових бројева за инсекте, птице и поједине групације летелица. Оквирне вредности су дате за услове стандард атмосфере, на нивоу мора ( H=0m ), за кинематску вискозност $10^5\,\nu = 1,32\, \frac{m^2}{sec}$ . У датим примерима су различите величине тела, која се крећу кроз ваздух различитим брзинама. Величине тела су дефинисане с карактеристичним дужинама l. За константне вредности карактеристичних дужина l се Рејднолсов број мења линерно, по правој линији ( приказано на слици ).^[13]

[уреди] Види још

[уреди] Референце

^ Рејнолдсов број
^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, str. 76, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ Прантлова истраживања
^ Преображај ламинарног у турбулентно струјање
^ Рејнолдсов оглед
^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, str. 81, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ Историјат Рејнолдсовог броја
^ Hidrodinamika, IV izdanje, str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
^ Бездимензијона анализа
^ Hidrodinamika, IV izdanje,str.74, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
^ Извор
^ Податци
^ Извор

[уреди] Коришћени извори

Портал Ваздухопловство

Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
Hidrodinamika, IV izdanje, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[уреди] Спољашње везе

Рејнолдсов број на сајту The Engneering Tolbox
Gas Dynamics Toolbox Calculate Reynolds number for mixtures of gases using VHS model
Browser-based Reynolds number calculator.

Бездимензиони бројеви у динамици флуида

[_note-0] Рејнолдсов број

[_note-1] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, str. 76, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[_note-2] Прантлова истраживања

[_note-3] Преображај ламинарног у турбулентно струјање

[_note-4] Рејнолдсов оглед

[_note-5] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, str. 81, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[_note-6] Историјат Рејнолдсовог броја

[_note-7] Hidrodinamika, IV izdanje, str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[_note-8] Бездимензијона анализа

[_note-9] Hidrodinamika, IV izdanje,str.74, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[_note-10] Извор

[_note-11] Податци

[_note-12] Извор

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]