Секанс

Из Википедије, слободне енциклопедије
Секанс
Sec.svg
Основне особине
Парност парна
Домен (-π/2+kπ,π/2+kπ), k из Z
Кодомен (-∞,1] и [1,∞)
Период
Специфичне вредности
Лок. максимуми ((2k+1)π,-1)
Лок. минимуми (2kπ,1)
Специфичне особине
Асимптоте (k + 1/2)π
Променљива k је цео број

Секанс је тригонометријска функција изведена из функције косинуса. Дефиниција гласи:

\operatorname{sec}\;x = \frac{1}{\cos x}

Веза са косекансом

\operatorname{sec}\;x = \operatorname{cosec}\, (\pi / 2 - x)

док је Питагорин идентитет, идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције

1+\tan^2(\alpha)= \operatorname{sec}^2(\alpha)

Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете.[1] (Сл.1.)

\operatorname{sec}\;\phi = \frac{r}{x}
Сл.1. Тригонометријски троугао

На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи

\sec\phi = \overline{OE}
Сл.2. Тригонометријска кружница
Неке карактеристичне вредности
степени 30° 45° 60° 90°
радијана 0 \pi/6 \pi/4 \pi/3 \pi/2
\sec\phi\, 1\; \frac{2}{3}{\sqrt{3}} \sqrt{2} 2\; \pm\infty\;


Репрезантација функције[уреди]

Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке x = 0

\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + \cdots \qquad \textrm{za} \ |x|< \frac{\pi}{2}

односно уопштено

\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!

где су E_k\! у формули Ојлерови бројеви.

Могуће је такође представити и у виду

\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } \quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!

Особине функције[уреди]

Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.

  • Област дефинисаности функције:
функција је дефинисана у скупу реалних бројева \mathbb{R}, сем у пребројиво много тачака где има прекиде
-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}
  • Област вредности функције:
функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1
 -\infty < \operatorname{sec}(x)  \le -1 \quad \cup \quad 1 \le \operatorname{sec}(x) < +\infty
  • Парност
функција је парна
\operatorname{sec}(-x) = \operatorname{sec}(x)
  • Периодичност
функција је периодична са основном периодом 2π
\operatorname{sec}(x+2\pi) = \operatorname{sec}(x)
  • Асимптоте
функција има вертикалне асимптоте у тачкама
x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}
функција нема хоризонталне и косе асимптоте
  • Нуле функције
функција нема нуле
  • Монотоност функције
  • Екстремуми
нема глобални екстремум
локални минимум
\operatorname{sec}(2 n \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}
локални максимум
\operatorname{sec}((2 n + 1) \cdot \pi) = -1\,; \,n\in\mathbb{Z}
  • Конвексност и конкавност функције
функција је конвексна у интервалу
-\pi/2+2n\pi<x<\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}
функција је конкавна у интервалу
\pi/2+2n\pi<x<3\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}
  • Превојне тачке
функција нема превојне тачке

Извод функције[уреди]

Први извод функције је

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{cosec}(x)}

Интеграл[уреди]

Неодређени интеграл функције

\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1 + \sin(x)} {\cos(x)}\right| = \ln\Big| \sec(x) +\tan(x)\Big|

Историја[уреди]

Први пут се скраћеница sec појављује 1626. године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.[2]

Извори[уреди]

  1. ^ Риста Карљиковић, Геометрија за више разреде средњих школа, трећи део, тригонометрија, издање књижарнице Рајковића и Ђурковића, Београд-Теразије, 1931
  2. ^ Миодраг Петковић, Љиљана Петковић, Математички времеплов, прилози за историју математике, ЗМАЈ, Нови Сад, 2006

Спољашње везе[уреди]


Литература[уреди]

  • Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980


Тригонометријске и хиперболичне функције
Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс
Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x)
Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x)
Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x)
Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)
Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Секанс