Секанс

Секанс
Основне особине
Парност	парна
Домен	(-π/2+kπ,π/2+kπ), k из Z
Кодомен	(-∞,1] и [1,∞)
Период	2π
Специфичне вредности
Лок. максимуми	((2k+1)π,-1)
Лок. минимуми	(2kπ,1)
Специфичне особине
Асимптоте	(k + 1/2)π
Променљива k је цео број

Секанс је тригонометријска функција изведена из функције косинуса. Дефиниција гласи:

$\operatorname{sec}\;x = \frac{1}{\cos x}$

Веза са косекансом

$\operatorname{sec}\;x = \operatorname{cosec}\, (\pi / 2 - x)$

док је Питагорин идентитет, идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције

$1+\tan^2(\alpha)= \operatorname{sec}^2(\alpha)$

Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете. (Сл.1.)

$\operatorname{sec}\;\phi = \frac{r}{x}$ Сл.1. Тригонометријски троугао

На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи

$\sec\phi = \overline{OE}$ Сл.2. Тригонометријска кружница

Неке карактеристичне вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијана	0	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sec\phi\,$	$1\;$	$\frac{2}{3}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	$\pm\infty\;$

Репрезантација функције

Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке $x = 0$

$\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + \cdots \qquad \textrm{za} \ |x|< \frac{\pi}{2}$

односно уопштено

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

где су $E_k\!$ у формули Ојлерови бројеви.

Могуће је такође представити и у виду

$\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } \quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!$

Особине функције

Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.

• Област дефинисаности функције:

функција је дефинисана у скупу реалних бројева $\mathbb{R}$, сем у пребројиво много тачака где има прекиде

$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$

• Област вредности функције:

функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1

$-\infty < \operatorname{sec}(x) \le -1 \quad \cup \quad 1 \le \operatorname{sec}(x) < +\infty$

• Парност

функција је парна

$\operatorname{sec}(-x) = \operatorname{sec}(x)$

• Периодичност

функција је периодична са основном периодом 2π

$\operatorname{sec}(x+2\pi) = \operatorname{sec}(x)$

• Асимптоте

функција има вертикалне асимптоте у тачкама

$x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$

функција нема хоризонталне и косе асимптоте

• Нуле функције

функција нема нуле

• Монотоност функције
• Екстремуми

нема глобални екстремум

локални минимум

$\operatorname{sec}(2 n \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}$

локални максимум

$\operatorname{sec}((2 n + 1) \cdot \pi) = -1\,; \,n\in\mathbb{Z}$

• Конвексност и конкавност функције

функција је конвексна у интервалу

$-\pi/2+2n\pi<x<\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$

функција је конкавна у интервалу

$\pi/2+2n\pi<x<3\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$

• Превојне тачке

функција нема превојне тачке

Извод функције

Први извод функције је

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{cosec}(x)}$

Интеграл

Неодређени интеграл функције

$\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1 + \sin(x)} {\cos(x)}\right| = \ln\Big| \sec(x) +\tan(x)\Big|$

Историја

Први пут се скраћеница sec појављује 1626. године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.

Спољашње везе

• Функција секанса на wolfram.com

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980

Тригонометријске и хиперболичне функције

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)