Скаларни производ вектора
Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): (a,b) \mapsto a \cdot b
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): (u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): (\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): u \cdot v = v \cdot u
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0
При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.
Скаларни производ вектора Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x}
и Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{y}
се дефинише на следећи начин:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n
Притом су Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): |\vec x|
и Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): |\vec y| интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x} = (x_1, x_2, \dots x_n)
и Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{y} = (y_1, y_2, \dots y_n)
Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \begin{align} & (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\ & = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\ & = 4 - 6 + 5 \\ & = 3 \end{align}
Садржај |
Доказ [уреди]
Формула :Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec x\cdot \vec y = |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right)
се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:
Ако је 
, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): |\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}
Пошто је Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec c
једнак Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec b-\vec a
, следи:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): |\vec b-\vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a| |\vec b| \cdot \cos{\gamma}
Одакле се налази:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \left(\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\vec b-\vec a\right) = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec b\cdot\vec b -2 \vec a\cdot\vec b+ \vec a\cdot\vec a = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}
Одатле се добија коначна формула:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}.
Ортогонални вектори [уреди]
Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x}
и Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{y}
узајамно нормални добија се:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x}\cdot \vec{y} = 0
.
Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.
Особине [уреди]
Скаларни производ вектора поседује следеће особине:
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): {\vec{a} \cdot \vec{b}} = {\vec{b} \cdot \vec{a}}
- дистрибутиван је у односу на сабирање
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}
- у општем случају није асоцијативан
- за њега важи следеће:
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): (\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b}
Коришћење за израчунавање интензитета вектора [уреди]
Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.
Пошто је:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.
За специјалан случај када је Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x} = \vec{y}
једнакост прелази у:
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{x} \cdot \vec{x} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \dots + {x_n}^2
- На основу тога се закључује:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): | \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.
Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.
Примена у физици [уреди]
Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): A=\vec F \cdot \vec r = |\vec F| \cdot |\vec r| \cdot \cos \alpha
Геометријска интерпретација [уреди]
Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.
- Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \,
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \Longrightarrow
Рашчлањивање није успело (<math_output_error>): \theta = \arccos \left(\frac {\vec{a}\cdot\vec{b}} {|\vec{a}||\vec{b}|}\right).
Литература [уреди]
- Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
