Скаларни производ вектора

Из Википедије, слободне енциклопедије

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

(a,b) \mapsto a \cdot b

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

(u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w
(\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)
u \cdot v = v \cdot u
u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора \vec{x} и \vec{y} се дефинише на следећи начин:

\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n

Притом су |\vec x| и |\vec y| интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

\vec{x} = (x_1, x_2, \dots x_n) и \vec{y} = (y_1, y_2, \dots y_n)

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

\begin{align}
& (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\
& = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
& = 4 - 6 + 5 \\
& = 3
\end{align}

Доказ[уреди]

Формула :\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right) се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је \gamma, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

|\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Пошто је \vec c једнак \vec b-\vec a, следи:

|\vec b-\vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a| |\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Одакле се налази:

\left(\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\vec b-\vec a\right) = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}
 \vec b\cdot\vec b -2 \vec a\cdot\vec b+ \vec a\cdot\vec a = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Одатле се добија коначна формула:

\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}.

Ортогонални вектори[уреди]

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори \vec{x} и \vec{y} узајамно нормални добија се:

\vec{x}\cdot \vec{y} = 0 .

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине[уреди]

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

{\vec{a} \cdot \vec{b}} = {\vec{b} \cdot \vec{a}}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b}

Коришћење за израчунавање интензитета вектора[уреди]

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.

Пошто је:

\vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.

За специјалан случај када је \vec{x} = \vec{y} једнакост прелази у: \vec{x} \cdot \vec{x} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \dots + {x_n}^2

На основу тога се закључује:
| \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици[уреди]

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

A=\vec F \cdot \vec r = |\vec F| \cdot |\vec r| \cdot \cos \alpha

Геометријска интерпретација[уреди]

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.

 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left(\frac {\vec{a}\cdot\vec{b}} {|\vec{a}||\vec{b}|}\right).

Литература[уреди]

  • Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд

Види још[уреди]