Сличне матрице

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, посебно линеарној алгебри, за две квадратне матрице A и B истог реда n кажемо да су сличне матрице ако је

A = S−1BS

за неку инверзибилну матрицу S реда n.

Еквивалентно, две матрице A и B су сличне ако су то матрице једног истог линеарног пресликавања неког векторског простора V у односу на две његове базе A и B, редом. Притом је A = S−1BS за матрицу S = SAB промене координата при преласку са базе A на базу B.

Сличне матрице нису „сличне“ у лаичком смислу – оне могу изгледати наоко сасвим различито, као што и то што се неке две матрице разликују можда тек у неколико елемената не говори ништа о њиховој сличности.

Сличност матрица је релација еквиваленције. Једно од основних питања којима се бави линеарна алгебра јесте налажење, за дату матрицу A, у извесном смислу што „једноставније“ матрице B сличне матрици A. Матрице сличне некој дијагоналној матрици називају се дијагонализабилне (понегде дијагонабилне) матрице; доказује се да су такве, на пример, све n × n матрице са n различитих својствених вредности, али и неке друге. Са друге стране, свака комплексна матрица има јединствену Жорданову нормалну форму, која јој је слична; општије, свака матрица над ма којим пољем F слична је тачно једној матрици у Жордановој нормалној форми над алгебарским затворењем F~ и две матрице су међусобно сличне ако и само ако су њихове Жорданове форме идентичне (до на редослед блокова). Од интереса су и други канонски облици матрица.

Сличност не зависи од поља: ако је L поље које садржи неко потпоље K, тада су две матрице A и B над K сличне као матрице над K ако и само ако су сличне као матрице над L.

Посебно, кажемо да су матрице пермутационо сличне ако се матрица S може изабрати тако да буде пермутациона, унитарно сличне ако се S може изабрати да буде унитарна, итд. Према спектралној теореми је свака нормална матрица унитарно слична дијагоналној; посебно је свака реална симетрична матрица ортогонално и свака хермитска матрица унитарно дијагонализабилна.

Пресликавање X → S−1XS, конјугација у смислу теорије група у линеарној групи GLn инверзибилних n × n матрица, се назива пресликавањем сличности и аутоморфизам је алгебре Mn свих n × n матрица. Ако је A = S−1BS, онда је

f(A) = S−1f(B)S

за ма који полином, или општије ма коју функцију f аналитичку на домену у комплексној равни који садржи све својствене вредности матрице A. Посебно, ако је A дијагонализабилна и B = diag( λ1, λ2, ... λn ) њој слична дијагонална матрица, тада су сви степени матрице A дати једноставном формулом

At = S−1 diag( λ1t, λ2t, ... λnt ) S.

Овај резултат се користи при решавању линеарног дискретног динамичког система xt + 1 ) = A x(t), чије је решење x(t) = At x(0). Аналогно сличне дијагоналне матрице помажу у решавању система линеарних диференцијалних једначина, односно непрекидног динамичког система. Помоћу исте формуле се нумерички брзо и прецизно израчунава доминантна својствена вредност (својствена вредност највеће апсолутне вредности).

Сличне матрице имају једнак ранг, дефект, детерминанту, траг, карактеристични и минимални полином, исте својствене вредности са једнаким алгебарским вишеструкостима и димензијама одговарајућих својствених простора. Ранг линеарног пресликавања је ранг ма које од његових матрица (које су сличне међу собом, те тако све имају исти ранг); слично се могу дефинисати и карактеристични и минимални полином линеарног пресликавања, итд.