Спљоштени сфероидни систем

Спљоштени сфероидни систем у тродимензионалном простору представља ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око мале оси, на којој се не налазе фокуси. Спљоштене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају спљоштеном сфероиду са два фокуса на великој оси.

Дефиниција

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата $(\mu, \nu, \phi)$ је:

$x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$

$y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$

$z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu$

где је $\mu$ ненегативан реални број, а $\nu \in [- \pi/2, \pi/2]$.

Координатне површи

Површи константнога $\mu$ чине спљоштене сфероиде, што се види квадрирањем и сређивањем горе наведених релација:

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$

Оне представљају елипсе, које се ротирају око z оси, која раздваја фокусе. Елипса у x-z равни има већу полуос дуљине a cosh μ дуж x оси, а мања полуос је a sinh μ дуж z оси.

На сличан начин добија се и следећа релација:

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$

из које се види да површи константнога $\nu$ чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$

$h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + \frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu} \left( \cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right) \right] + \frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu+\cos^{2}\nu \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$

Друга верзија

Спљоштени сфероидни систем може да се параметризира и са друге три координате $(\zeta,\xi,\phi)$, које су са картезијевим координатама повезане следећом релацијом:

$x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi\,$

$y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi\,$

$z = a \zeta \xi\,$

Ламеови коефицијенти друге верзије

$h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}$

$h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}$

$h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla^{2} V = \frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ \left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta} \right] + \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ \left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi} \right] \right\} + \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}$

Трећа верзија

Трећа верзија система има следеће три координате $(\sigma, \tau, \phi)$ дефинисане са:

$x = a\sigma\tau \cos \phi\,$

$y = a\sigma\tau \sin \phi\,$

$z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)$

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}$

$h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$

$h_{\phi} = a \sigma \tau$.

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\sqrt{\sigma^{2} -1}}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma\sqrt{\sigma^{2} - 1} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\sqrt{1 - \tau^{2}}}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( \tau\sqrt{1 - \tau^{2}} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \sigma^{2} \tau^{2} } \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$

Литература

• Спљоштени сфероидни систем
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем
• Издужени сфероидни координатни систем