Спљоштени сфероидни систем

Из Википедије, слободне енциклопедије
Oblate spheroidal coordinates half hyperboloid.png

Спљоштени сфероидни систем у тродимензионалном простору представља ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око мале оси, на којој се не налазе фокуси. Спљоштене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају спљоштеном сфероиду са два фокуса на великој оси.

Дефиниција[уреди]

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата (\mu, \nu, \phi) је:

OblateSpheroidCoord.png

x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi

y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi

z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu

где је \mu ненегативан реални број, а \nu \in [- \pi/2, \pi/2].

Координатне површи[уреди]

Површи константнога \mu чине спљоштене сфероиде, што се види квадрирањем и сређивањем горе наведених релација:


\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + 
\frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

Оне представљају елипсе, које се ротирају око z оси, која раздваја фокусе. Елипса у x-z равни има већу полуос дужине a cosh μ дуж x оси, а мања полуос је a sinh μ дуж z оси.

На сличан начин добија се и следећа релација:


\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - 
\frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

из које се види да површи константнога \nu чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти[уреди]

Ламеови коефицијенти скалирања су:


h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}

h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ 
\left(\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi

а Лапласијан је:


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left(\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} 
\left(\cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + 
\frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu}
\left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right)
\right] +
\frac{1}{a^{2} \left(\cosh^{2}\mu+\cos^{2}\nu \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

Друга верзија[уреди]

Спљоштени сфероидни систем може да се параметризира и са друге три координате (\zeta,\xi,\phi), које су са картезијевим координатама повезане следећом релацијом:

x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi\,
y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi\,
z  = a \zeta \xi\,

Ламеови коефицијенти друге верзије[уреди]


h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}

h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}

h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi

а Лапласијан је:


\nabla^{2} V = 
\frac{1}{a^2 \left(\zeta^2 + \xi^2 \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ 
\left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \xi} \left[ 
\left(1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^2 \left(1+\zeta^2 \right) \left(1 - \xi^{2} \right)}
\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}

Трећа верзија[уреди]

Трећа верзија система има следеће три координате (\sigma, \tau, \phi) дефинисане са:


x = a\sigma\tau \cos \phi\,

y = a\sigma\tau \sin \phi\,

z^{2}  = a^{2} \left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)

Ламеови коефицијенти скалирања су:


h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}

h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}
h_{\phi} = a \sigma \tau.

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi

а Лапласијан је:


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left(\sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\sqrt{\sigma^{2} -1}}{\sigma}
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left(\sigma\sqrt{\sigma^{2} - 1} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\sqrt{1 - \tau^{2}}}{\tau}
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left(\tau\sqrt{1 - \tau^{2}} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \sigma^{2}  \tau^{2} }
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

Литература[уреди]

Види још[уреди]