Степени ред

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

где an представља коефицијент n-тог сабирка, c је константа, а x је променљива близу c. Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.

Јако често се узима да је c једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.

Примери[уреди]

Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке c, мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином f(x) = x^2 + 2x + 3 се може записати као степени ред око c=0 облика

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

или око центра c=1 као

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

или око било ког другог центра c. Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.

Формула геометријског реда

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

која важи за |x|<1, је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

и синусна формула

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

која важи за свако реално x. Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример

\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.

Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је x^{1/2} нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти a_n не смеју да зависе од x, стога на пример:

\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, није степени ред.

Радијус конвергенције[уреди]

Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве x (барем за x = c) а за остале може да дивергира. Увек постоји број r, 0 ≤ r ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је |xc| < r и дивергира кад год |xc| > r. Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом

r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}

или, еквивалентно,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је

r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|

ако овај лимес постоји.

Ред конвергира апсолутно за x - c| < r и униформно на сваком непрекидном подскупу {x : |xc| < r}.

За x - c| = r, се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на x ако ред конвергира на x.

Операције са степеним редовима[уреди]

Сабирање и одузимање[уреди]

Када се две функције, f и g декомпонују у степени ред око истог центра c, степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

онда

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n

Множење и дељење[уреди]

Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:

 f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Низ m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} је познат као конволуција низова a_n и b_n.

Приметимо, за дељење:

 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n
 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.

Диференцирање и интеграција[уреди]

Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left(x-c \right)^{n-1}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left(x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C

Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.

Аналитичке функције[уреди]

Функција f дефинисана на неком отвореном подскупу U од R или C се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако aU има отворену околину VU, такву да постоји степени ред са центром a који конвергира функцији f(x) за свако xV.

Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.

Формални степени редови[уреди]

У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.

Степени редови више променљивих[уреди]

Степени редови више променљивих су дефинисани на следећи начин


f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

где је j = (j1, ..., jn) вектор природних бројева, коефицијенти a(j1,...,jn) су обично реални или комплексни бројеви, а центар c = (c1, ..., cn) и аргумент x = (x1, ..., xn) су обично реални или комплексни вектори. Једноставнија нотација је


f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

Спољашње везе[уреди]