Стјуартова теорема

(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (енгл. Matthew Stewart c. 1717/1719 – 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

$AP^2=\frac{BP}{BC} AC^2 + \frac{CP}{BC} AB^2-BP$ · $CP\,$

Доказ преко тригонометрије

Теорема може да се докаже на следећи начин:

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже

$\begin{align} c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\ &= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}$

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо

$\begin{align} &b^2m + c^2n \\ &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\ &= (m+n)(mn + d^2) \\ &= a(mn + d^2) \\ \end{align}$

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

$AP^2=\frac{BP}{BC} AC^2 + \frac{CP}{BC} AB^2-BP$ · $CP\,$

Види још

• Троугао
• Тежишна дуж