Стјуартова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (енгл. Matthew Stewart c. 1717/1719[1] - 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

AP^2=\frac{BP}{BC} AC^2 + \frac{CP}{BC} AB^2-BP · CP\,

Доказ преко тригонометрије[уреди]

Теорема може да се докаже на следећи начин:[2]

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2) \\
\end{align}

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

AP^2=\frac{BP}{BC} AC^2 + \frac{CP}{BC} AB^2-BP · CP\,

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Waterston, Charles D; Macmillan Shearer, A (јул 2006). Former Fellows of the Royal Society of Edinburgh 1783-2002: Biographical Index. II. Единбург: Единбуршка академија наука и уметности. ISBN 9780902198845 Приступљено 29. септембар 2010. 
  2. ^ Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.

Литература[уреди]