Сурјективно пресликавање

Из Википедије, слободне енциклопедије
Сурјективно пресликавање
Још једно сурјективно пресликавање
Пресликавање које није сурјективно
Сурјективна композиција: прва функција не мора да буде сурјективна.

У математици, за функцију f се каже да је сурјективна ако њене вредности испуњавају њен цео кодомен; то јест, за свако y у кодомену, постоји бар једно x у домену, такво да је f(x) = y. Сурјективна функција се назива сурјекцијом, и такође се назива на (функцијом).

Примери и контрапримери[уреди]

  • За сваки скуп X, функција идентитета idX на X је сурјективна.
  • Функкција f: 'R → R' дефинисана као f(x) = 2x + 1 је сурјективна, јер за сваки реалан број y постоји x, такво да је f(x) = y.
  • Природни логаритам ln: (0,+∞) → R је сурјекција.
  • Функција g: 'R → R' дефинисана као g(x) = x² није сурјективна, јер (на пример) не постоји реалан број x такав да x² = −1. Међутим, ако променимо кодомен у [0,+∞), тада g постаје сурјективна.
  • Функција fZ → {0,1,2,3}' дефинисана као f(x) = x mod' 4 је сурјективна.

Својства[уреди]

  • Функција fX → Y је сурјектвина ако и само ако постоји функција gY → X таква да је f o g једнако функцији идентитета на Y. (Овај исказ је еквивалентан аксиоми избора.)
  • Ако су f и g обе сурјекције, тада је f o g сурјекција.
  • Ако је f o g сурјекција, тада је f сурјекција (али g не мора бити).
  • fX → Y је сурјекција ако и само ако, за било које функције g,h:Y → Z, кад год је g o f = h o f, тада g = h.
  • Ако је fX → Y сурјективна, и B је подскуп од Y, тада f(f −1(B)) = B. Стога, B се може добити из f −1(B).
  • Свака функција hX → Z може бити разложена као h = g o f за одговарајућу сурјекцију f и инјекцију g. Ова декомпозиција је јединствена до на изоморфизам, и f се може посматрати као функција са истим вредностима као h али јој је кодомен ограничен на опсег h(W) од h, што је само подскуп кодомена Z од h.
  • Ако је fX → Y сурјективна функција, онда X има најмање онолико елемената као Y, у смислу кардиналних бројева.
  • Ако су и X и Y коначни скупови, са истим бројем елемената, тада је f : X → Y сурјекција ако и само ако је f инјекција.

Види још[уреди]