Сферни хармоници

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама. Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

$Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }$ и решење су једначине:

$\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d Y_\ell^m}{d\theta}\right) + (l(l+1)- \frac{m^2}{\sin^2{\theta}}) Y_\ell^m = 0$

Лапласова једначина

Лапласова једначина у сферним координатама има облик:

$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0.$

Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:

$f(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta,\varphi)$

Сепарацијом варијабли добија се:

$\Delta R(r)Y(\vartheta,\varphi)=Y(\vartheta,\varphi)\Delta_{r}R(r)+\frac{R(r)}{r^{2}}\Delta_{\vartheta,\varphi}Y(\vartheta,\varphi)=0$

Множећи са $r^2$ и делећи са $R(r) Y(\vartheta,\varphi)$ добија се:

$\frac{r^{2}\Delta_{r}R(r)}{R(r)}+\frac{\Delta_{\vartheta,\varphi}Y(\vartheta,\varphi)}{Y(\vartheta,\varphi)}=0$

односно добијају се две једначине:

$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.$

Угаона једначина

$\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}+\frac{1}{\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)Y(\vartheta,\varphi)=-\lambda Y(\vartheta,\varphi)$

може даље да се сепарира по две варијабле:

$Y(\vartheta,\varphi)=\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$

Одатле се добија:

$\underbrace{\frac{\sin^{2}\vartheta}{\Theta(\vartheta)}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Theta(\vartheta)+\sin^{2}(\vartheta)\lambda)}_{m^{2}}=\underbrace{-\frac{1}{\Phi(\varphi)}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\Phi(\varphi)}_{m^{2}}$

тј. две једначине:

$\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2$

$\lambda\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2$

Решење прве једначине је: $\Phi_{m}(\varphi)=A\exp(im\varphi)$ Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено $\lambda = l(l+1)$. Коначно за угао $\theta$ добија се једначина:

$\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l m} = 0$

Уведемо ли супституцију $x=\cos(\theta)$ добија се:

$(1-x^2)\,\Theta'' -2x\Theta' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,\Theta = 0,\,$<

односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми $P_{lm}(\cos\vartheta)$. Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ $\int_{0}^{\pi}|\Theta_{lm}(\vartheta)|^{2}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta=1$ па добијамо:

$\Theta_{lm}(\vartheta)= \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta)$

Исто тако треба да се нормира и по другом углу $\int_{0}^{2\pi}|\Phi_{m}(\varphi)|^{2}\mathrm{d}\varphi=1$ , па се добија:

$\Phi_{m}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(im\varphi),\quad m\in\mathbb{Z}$.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

$Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }$

Нека својства

Сферни хармоници су ортогонални:

$\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},$.

Задовољавају релацију потпуности:

$\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ') \, Y_{lm}(\vartheta,\varphi) = \delta(\varphi-\varphi ')\delta(\cos{\vartheta} -\cos{\vartheta '})$

Осим тога у случају трансформација вреди:

$Y_{lm}(\pi-\vartheta,\pi+\varphi)=(-1)^l\cdot Y_{lm}(\vartheta,\varphi)$

$Y_{l,-m}(\vartheta,\varphi)=(-1)^m\cdot Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)$

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

$\begin{align} & {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\ & = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \end{align}$

где су $l_1$, $l_2$ and $l_3$ цели бројеви.

Адициони теорем

Претпоставимо да су два јединиочна вектора $\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}'$ предстљвљена у сферним координатама $(\vartheta,\,\varphi)$ односно $(\vartheta',\,\varphi')$. Угао између два вектора је онда:

$\cos\gamma=\cos\vartheta\cos\vartheta' + \sin\vartheta\sin\vartheta'\cos(\varphi-\varphi')\,.$

Адициони теорем за сферне хармонике је онда:

$P_l(\cos\gamma) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\vartheta,\varphi)Y_{lm}^*(\vartheta',\varphi').$

За случај када се ради о истом вектору добија се:

$\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi) \, Y_{\ell m}(\theta,\varphi) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}$

Развој по сферним хармоницима

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

$f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).$

а коефицијенти су:

$f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi \,d\theta\,\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).$

Табела неких сферних хармоника

Првих неколико сферних хармоника

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				$\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{-3i \varphi}$
m = −2			$\sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{-2i \varphi}$	$\sqrt{\tfrac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{-2i \varphi}$
m = −1		$\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, e^{-i \varphi}$	$\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{-i \varphi}$	$\sqrt{\tfrac{21}{64 \pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{-i \varphi}$
m = 0	$\sqrt{\tfrac{1}{4 \pi}}$	$\sqrt{\tfrac{3}{4 \pi}} \cos{\vartheta}$	$\sqrt{\tfrac{5}{16 \pi}} \left( 3 \cos^{2}{\vartheta} - 1 \right)$	$\sqrt{\tfrac{7}{16 \pi}} \left( 5 \cos^{3}{\vartheta} - 3 \cos{\vartheta}\right)$
m = 1		$-\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, e^{i \varphi}$	$-\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{i \varphi}$	$-\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{i \varphi}$
m = 2			$\sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{2i \varphi}$	$\sqrt{\tfrac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{2i \varphi}$
m = 3				$-\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{3i \varphi}$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Сферни хармоници
• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
• Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9. 
• Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on $S^2$ and $\mathbb{R}^2$“, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 57 (7): 2345–2360, ISSN 0373-0956, MR2394544 
• MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004), Group theory: The application to quantum mechanics, Dover, ISBN 978-0-486-43798-9 .
• Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics“. In Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
• Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome“, Annalen der Physik 387 (3): 355–393, Bibcode 1927AnP...387..355U, DOI:10.1002/andp.19273870304 .
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press .

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.
• C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, ISBN 978-3-540-03600-5.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
• Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Section 6.7. Spherical Harmonics“, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4