Сферни хармоници

Из Википедије, слободне енциклопедије

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама. Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

 Y_\ell^m(\theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_\ell^m (\cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } и решење су једначине:
\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d Y_\ell^m}{d\theta}\right)  + (l(l+1)- \frac{m^2}{\sin^2{\theta}}) Y_\ell^m = 0

Лапласова једначина[уреди]

Лапласова једначина у сферним координатама има облик:

 \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0.

Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:

f(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta,\varphi)

Сепарацијом варијабли добија се:

\Delta R(r)Y(\vartheta,\varphi)=Y(\vartheta,\varphi)\Delta_{r}R(r)+\frac{R(r)}{r^{2}}\Delta_{\vartheta,\varphi}Y(\vartheta,\varphi)=0

Множећи са r^2 и делећи са R(r) Y(\vartheta,\varphi) добија се:

\frac{r^{2}\Delta_{r}R(r)}{R(r)}+\frac{\Delta_{\vartheta,\varphi}Y(\vartheta,\varphi)}{Y(\vartheta,\varphi)}=0

односно добијају се две једначине:

\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.

Угаона једначина

\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}+\frac{1}{\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)Y(\vartheta,\varphi)=-\lambda Y(\vartheta,\varphi)

може даље да се сепарира по две варијабле:

Y(\vartheta,\varphi)=\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)

Одатле се добија:

\underbrace{\frac{\sin^{2}\vartheta}{\Theta(\vartheta)}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Theta(\vartheta)+\sin^{2}(\vartheta)\lambda)}_{m^{2}}=\underbrace{-\frac{1}{\Phi(\varphi)}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\Phi(\varphi)}_{m^{2}}

тј. две једначине:

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
\lambda\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2

Решење прве једначине је: \Phi_{m}(\varphi)=A\exp(im\varphi) Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено \lambda  = l(l+1). Коначно за угао \theta добија се једначина:

\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l m} = 0

Уведемо ли супституцију x=\cos(\theta) добија се:

(1-x^2)\,\Theta'' -2x\Theta' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,\Theta = 0,\,<

односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми P_{lm}(\cos\vartheta). Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ \int_{0}^{\pi}|\Theta_{lm}(\vartheta)|^{2}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta=1 па добијамо:

\Theta_{lm}(\vartheta)= \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta)

Исто тако треба да се нормира и по другом углу \int_{0}^{2\pi}|\Phi_{m}(\varphi)|^{2}\mathrm{d}\varphi=1 , па се добија:

\Phi_{m}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(im\varphi),\quad m\in\mathbb{Z}.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

 Y_\ell^m(\theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_\ell^m (\cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

Нека својства[уреди]

Сферни хармоници су ортогонални:

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},.

Задовољавају релацију потпуности:

\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ') \, Y_{lm}(\vartheta,\varphi) = \delta(\varphi-\varphi ')\delta(\cos{\vartheta} -\cos{\vartheta '})

Осим тога у случају трансформација вреди:

Y_{lm}(\pi-\vartheta,\pi+\varphi)=(-1)^l\cdot Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
Y_{l,-m}(\vartheta,\varphi)=(-1)^m\cdot Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:


\begin{align}
& {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\
&  =
\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt]
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\end{align}

где су l_1, l_2 and l_3 цели бројеви.

Адициона теорема[уреди]

Претпоставимо да су два јединична вектора \mathbf{x} и \mathbf{x}' предстaвљена у сферним кординатама (\vartheta,\,\varphi) односно (\vartheta',\,\varphi'). Угао између два вектора је онда:

\cos\gamma=\cos\vartheta\cos\vartheta' + \sin\vartheta\sin\vartheta'\cos(\varphi-\varphi')\,.

Адиционa теоремa за сферне хармонике је:

 P_l(\cos\gamma) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\vartheta,\varphi)Y_{lm}^*(\vartheta',\varphi').

За случај када се ради о истом вектору добија се:

\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi) \, Y_{\ell m}(\theta,\varphi) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}

Развој по сферним хармоницима[уреди]

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).

а коефицијенти су:

f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi \,d\theta\,\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).

Табела неких сферних хармоника[уреди]

Првих неколико сферних хармоника
Ylm l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3 \sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{-3i \varphi}
m = −2 \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{-2i \varphi} \sqrt{\tfrac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{-2i \varphi}
m = −1 \sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}   \sin{\vartheta} \, e^{-i \varphi} \sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}}  \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{-i \varphi} \sqrt{\tfrac{21}{64 \pi}} \sin{\vartheta}\left(5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{-i \varphi}
m = 0 \sqrt{\tfrac{1}{4 \pi}} \sqrt{\tfrac{3}{4 \pi}}   \cos{\vartheta} \sqrt{\tfrac{5}{16 \pi}}  \left(3 \cos^{2}{\vartheta} - 1 \right) \sqrt{\tfrac{7}{16 \pi}}  \left(5 \cos^{3}{\vartheta} - 3 \cos{\vartheta}\right)
m = 1 -\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}  \sin{\vartheta} \, e^{i \varphi} -\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{i \varphi} -\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}} \sin{\vartheta}\left(5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{i \varphi}
m = 2 \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}}  \sin^{2}{\vartheta} \, e^{2i \varphi} \sqrt{\tfrac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{2i \varphi}
m = 3 -\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{3i \varphi}

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Сферни хармоници
  • Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
  • Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.. 
  • Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on S^2 and \mathbb{R}^2“, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 57 (7): 2345–2360, ISSN 0373-0956, MR2394544 
  • MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
  • Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: The application to quantum mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-43798-9. .
  • Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics“. In Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9. .
  • Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome“, Annalen der Physik 387 (3): 355–393, Bibcode 1927AnP...387..355U, DOI:10.1002/andp.19273870304 .
  • Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press .
  • E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0104-3.
  • C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. ISBN 978-3-540-03600-5.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
  • J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 6.7. Spherical Harmonics“. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4