Таблични интеграли

Из Википедије, слободне енциклопедије

Интеграљење је једна од две основне операције у математичкој анализи. Неке класе интеграла се решавају шаблонски, према формулама или правилима која описују како се решава интеграл, ако смо у стању да конкретан интеграл препознамо међу следећим примерима. На овој страници се налазе неки основни неодређени интеграли.

Правила за интеграљење општих функција[уреди]

Хомогеност:

\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx

Адитивност:

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

Парцијална интеграција:

\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)

Интеграли једноставних функција[уреди]

Рационалне функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла рационалних функција
\int \,dx = x + C
\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\, \operatorname{arctg}\frac{x}{a}\ + C

Логаритамске функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла логаритамских функција
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

Експоненцијалне функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла експоненцијалних функција
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Ирационалне функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла ирационалних функција
\int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a}\ + C
\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C

Тригонометријске функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла тригонометријских функција
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \operatorname{tg}{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C_1 = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C_2
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}{x}\right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

\int \sec^2 x \, dx = \operatorname{tg} x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \operatorname{arctg}{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}{x} - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C

Хиперболичке функције[уреди]

више интеграла на: Листа интеграла хиперболичких функција
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \operatorname{tgh} x \, dx = \ln (\cosh x) + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{tgh} {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \operatorname{arctg}(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

Несвојствени (неправи) интеграли[уреди]

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)

Литература[уреди]

  • Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
  • I.S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
  • A.P. Prudnikov (А. П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), O.I. Marichev (О. И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
  • Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.
  • Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
  • Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
  • Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)