Талесова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

У геометрији, Талесов став (добио име по Талесу из Милета) тврди да ако су A, B и C тачке на кругу где је AC пречник круга, тада је угао ABC прав угао.

Thales-theorem.png

Доказ[уреди]

Користимо следеће претпоставке: збир углова у троуглу је једнак збиру два права угла и два угла једнакокраког троугла су једнака.


Thales-proof.png

Нека је O центар круга. Нека су OA = OB = OC, OAB и OBC су једнакокраки троуглови, и по једнакости углова једнакокраког троугла, OBC = OCB и BAO = ABO. Нека γ = BAO и δ = OBC.


2γ + γ ′ = 180°

и

2δ + δ ′ = 180°

Такође знамо да

γ ′ + δ ′ = 180°

Додајући прве две једначине и замењујући трећу следи да

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

што након скраћивања, γ ′ и δ ′, доказује да

γ + δ = 90°

Генерализација[уреди]

Талесова теорема је специјални случај следеће теореме: ако се три тачке A, B и C налазе на кругу са центром O, угао AOC је два пута већи од угла ABC.

Историја[уреди]

Талес није био први који је познавао ову чињеницу, јер су је Египћани и Вавилонци познавали емпиријски. У сваком случају они нису знали да докажу ову теорему, нити су познавали појам доказивања нити их је то уопште занимало. Тако је теорема добила име по Талесу који ју је први доказао.

Спољашње везе[уреди]