Тачка (геометрија)

Тачка је један од основних појмова геометрије којим се означава бесконачно мали објекат без дужине или запремине. Да би се тачка дефинисала, потребно је знати само њено место у простору, а она сама се сматра основним елементом од кога је простор сачињен. Представља место пресека било које две линије у равни.Праве и дужи су непрекидни скупови тачака (сходно томе, место где се секу две праве је тачка), раван непрекидан скуп правих итд.

По конвенцији, имена тачака су велика слова латинице, а на цртежима се обележавају малим круговима поред којих се ова имена уписују.

Тачке у Еуклидовој геометрији

Тачка у еуклидовој геометрији нема величину, правац, смер, нити било коју другу особину сем положаја. На почетку I књиге^[1] Еуклидових Елемената стоје следеће дефиниције:

Дефиниција 1

Тачка је оно што нема делова.

Дефиниција 3

Крајеви линије су тачке.

У тражењу примата линије и тачке, Еуклид наводи да је тачка основна, а линија је оно што садржи тачке, док Аристотел радије узима линију за основу, а тачка је оно што је на крајевима линије.

Међутим постоје различити преводи и интерпретације Еуклидове дефиниције, међу којима и следеће: „Тачка је оно што нема пружање“ као најбољи превод, али недовољно јасан данашњем читаоцу оригиналне реченице

ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν

Дефиниција „Тачка је оно што нема меру“ не би била добра јер тачка има свој положај, а то јесте некаква мера дужине (удаљеност од неке референтне тачке).

У данашњем језику је најприсутнија и терминологији најближа следећа дефиниција, у смислу интерпретације Еуклида

„Тачка је оно што нема димензије“.

Тачке у Картезијанској геометрији

Локација тачке у простору може бити описана са три реална броја који представљају координате у тродимензионалном простору. На пример:

P = (2,6,9).

На овај начин тачка се може описати и у вишедимензионалном простору. Опис тачке је сличан опису вектора који такође може да постоји у вишедимензионалном простору. Разлика између вектора и тачке је у томе што вектор има и правац и дужину, зато се подразумева да је почетна тачка вектора (0,0,0).

Тачка у простору димензије 2 или веће

Свака тачка која припада простору димензије n се да представити са једном уређеном n-торком скалара, који припадају пољу скалара над којим је изграђен простор а представљају њене координате у том простору. Тако би на пример тачка P из Eⁿ била представљена као P=(P₁,P₂,...,P_n) при чему су P_i из E, i=1,..,n.

Растојање између две тачке

Растојање између две тачке из простора Eⁿ се у еуклидовој геометрији дефинише као збир квадрата разлика њихових координата. На пример:

$A = (A_1,\dots ,A_n), B = (B_1,\dots ,B_n) \in E^n$

$d(A,B) = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {(A_i-B_i)}^2}} = \sqrt{(A_1-B_1)^2 + \dots + (A_n-B_n)^2}$

Литература

^ Антон Билимовић, Еуклидови Елементи, Прва књига, САНУ, 1949

Спољашње везе

Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Тачка (геометрија)