Теорема Банаха-Алаоглу

Из Википедије, слободне енциклопедије

Теорема Банаха-Алаоглу је важно тврђење у функционалној анализи, области математике. Теорема тврди да је затворена јединична лопта у дуалном простору нормираног векторског простора компактна у слабој* топологији. У уобичајеном доказу, јединична лопта у слабој* топологији се препознаје као затворен подскуп производа компактних скупова са топологијом производа. Према теореми Тихонова, производ је компактан, а стога и јединична лопта.

Стефан Банах је 1932. објавио доказ ове теореме за сепарабилне нормиране векторске просторе; први доказ у општем случају објавио је 1940. турски математичар Леонидас Алаоглу.

Теорему Банаха-Алаоуглу су на произвољне тополошке векторске просторе уопштили Бурбаки. Ово уопштење (које се понекад назива и теоремом Бурбаки-Алаоглу) гласи

Нека је X тополошки векторски простор и X* његов (непрекидни) дуални простор. Тада је полара Uo ма које околине U у X компактна у слабој* топологији σ(X*,X) на X*.