Теорема Банаха-Штајнхауса

Из Википедије, слободне енциклопедије

Теорема Банаха-Штајнхауса или принцип равномерне ограничености је један од основних резултата функционалне анализе, скупа са теоремом Хана-Банаха и теоремом о отвореном пресликавању један од три камена темељца ове области математике. Теорему су 1927. године објавили пољски математичари Стефан Банах и Хуго Штајнхаус; независно од њих доказао ју је и Ханс Хан. Понекад се назива и изворним називом „принцип кондензације сингуларитета“.

Ако је {\mathcal F} фамилија равномерно ограничених линеарних пресликавања између два нормирана простора, јасно је да су тада равномерно ограничене и њихове вредности за сваку појединачну вредност аргумента. У свом основном облику, теорема Банаха-Штајнхауса тврди да, ако је домен {\mathcal F} Банахов простор, важи и обрнуто: ако су вредности пресликавања из {\mathcal F} за сваку појединачну вредност аргумента равномерне ограничене, онда су равномерно ограничене и норме пресликавања из {\mathcal F}.

Принцип равномерне ограничености[уреди]

Нека је X Банахов простор и Y нормиран простор. Ако је {\mathcal F} фамилија непрекидних линеарних пресликавања из X у Y таква да је
\sup\{\|Tx\|_Y:T\in{\mathcal F}\}<\infty
за свако појединачно x у X, тада је
\sup\{\|T\|_{{\mathcal L}(X,Y)}:T\in{\mathcal F}\}<\infty.

Доказ принципа равномерне ограничености почива на Беровој теореми о категорији.

Општији облик[уреди]

Теорема Банаха-Штајнхауса се може на природан начин уопштити на бачвасте просторе, важну класу тополошких векторских простора:

Нека је X бачваст простор и Y локално конвексан простор. Тада је свака фамилија непрекидних линеарних пресликавања из X у Y ограничена за сваку појединачну вредност аргумента и еквинепрекидна (самим тим и равномерно еквинепрекидна).

Последице[уреди]

Важна и једноставна последица принципа равномерне ограничености јесте следећа чињеница: Ако је A_n:X\to Y низ непрекидних линеарних пресликавања из Банаховог простора X у нормиран простор Y који конвергира (тачка-по-тачка) ка функцији A, тада је и A непрекидно линеарно пресликавање. И заиста, линеарност следи директним преласком на граничну вредност; низ пресликавања An је ограничен за сваку вредност аргумента, те су стога и њихове норме ограничене: тврђење затим следи преласком на граничну вредност у \|A_nx\|\leq C\|x\|.

Теорема Банаха-Штајнхауса је од изузетног значаја у функционалној анализи. Заједно са теоремом Банаха-Алоглу, на пример, се користи како би се показало да у локално конвексниим просторима слаба ограниченост повлачи ограниченост, што је полазна тачка за принципе „од слабог ка јаком“, на пример за поређење слабе и јаке диференцијабилности.

Изворни рад[уреди]