Теорема о затвореном графику

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, теорема о затвореном графику је темељни резултат класичне функционалне анализе, који карактерише непрекидна линеарна пресликавања између Банахових простора својствима њихових графика.

Исказ[уреди]

График ма ког пресликавања A : X → Y се дефинише као { (x,Ax) ∈ X×Y | x ∈ X }.

Теорема о затвореном графику гласи:

Нека су X и Y Банахови простори и A : X → Y свугде дефинисано линеарно пресликавање (тј. домен D(A) је цео простор X). Тада је A непрекидно ако и само ако је затворено, односно, ако је његов график затворен у X×Y (са топологијом производа).

Услов да је A свугде дефинисано је неопходан јер постоје затворена неограничена линеарна пресликавања. Уобичајени доказ теореме о затвореном графику користи теорему о отвореном пресликавању.

Услов да је график пресликавања A затворен подскуп производа X×Y еквивалентан је исказу да

ако је {xn} низ у X такав да xn → x и Axn → y, тада је y=Ax.

Према теореми о затвореном графику, за линеарно пресликавање A између Банахових простора X и Y, ово је еквивалентно са условом непрекидности:

ако је {xn} низ у X такав да xn → x, тада и Axn → Ax.

Општији облик[уреди]

У контексту тополошких векторских простора, теорема о затвореном графику има следећи општији облик:

Линеарно пресликавање из бачвастог простора X у Фрешеов простор Y је непрекидно ако и само ако је његов график затворен у X×Y са топологијом производа.