Теорема о отвореном пресликавању

Из Википедије, слободне енциклопедије

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа[уреди]

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и A:X\to Y сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је U\subset X отворен, тада је и слика f(A)\subset Y отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

  • Ако је A:X\to Y бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање A^{-1}:Y\to X такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
  • Ако је A:X\to Y линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из x_n\to 0 и Ax_n\to y за низ елемената x_n\in X и y\in Y следи y=0, тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање A:X\to Y између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график G_A=\{(x,Ax):x\in X\} затворен подскуп производа X\times Y.

Комплексна анализа[уреди]

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп U\subseteq{\mathbb C} и сваку неконстантну холоморфну функцију f:U\to{\mathbb C}, скуп f(U) отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова {\mathbb C} су такође отворени подскупови).