Теорема о отвореном пресликавању

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и $A:X\to Y$ сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је $U\subset X$ отворен, тада је и слика $f(A)\subset Y$ отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

• Ако је $A:X\to Y$ бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање $A^{-1}:Y\to X$ такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
• Ако је $A:X\to Y$ линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из $x_n\to 0$ и $Ax_n\to y$ за низ елемената $x_n\in X$ и $y\in Y$ следи $y=0$, тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање $A:X\to Y$ између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график $G_A=\{(x,Ax):x\in X\}$ затворен подскуп производа $X\times Y$.

Доказ

Потребно је доказати да A слика отворене скупове у отворене. Према линеарности, довољно је доказати да за свако $\epsilon>0$ постоји $\delta>0$ такво да је

$B_Y(0,\delta)\subset A(B_X(0,\epsilon))$;

штавише, како је A и хомогено, ово је довољно доказати за једно ε. Посматрајмо затворене скупове

$Y_n=\overline{A(B_X(0,n))}$.

Како је A сурјективно пресликавање, $Y=\cup_{n\in{\mathbb N}}Y_n$. Y је Банахов простор, дакле и комплетан метрички, те према Беровој теореми о категорији неки Y_N има непразну унутрашњост, дакле садржи неку отворену куглу $B_Y(y,\eta)$. Према линеарности,

$B_Y(0,\eta)\subset Y_N+Y_N\subset Y_{2N}$.

Докажимо сада да

$B_Y(0,\eta/2)\subset A(B_X(0,2N))$.

Према хомогености имамо да је

$B_Y(0,\eta/2^k)\subset \overline{A(B_X(0,2N/2^k))}$.

Нека је $y_0\in B_Y(0,\eta/2)$. Према горњој једначини можемо наћи $x_0\in B_X(0,N)$ тако да је

$\|y_0-Ax_0\|_Y<\eta/4$, односно $y_1:=y_0-Ax_0\in B_Y(0,\eta/4)$.

На исти начин можемо наћи и $x_1\in B_X(0,N/2)$ тако да је $y_2:=y_1-Ax_1\in B_Y(0,\eta/8)$, и тако даље:

$x_k\in B_X(0,N/2^k)$, $y_{k+1}:=y_k-Ax_k\in B_Y(0,\eta/2^{k+2})$.

Сабирајући првих n ових једнакости имамо

$y_0=A(x_0+x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})+y_n.$

Како је $\|x_k\|_X<N/2^k$, то ред $\sum_{k=0}^{\infty}x_k$ конвергира у Банаховом (дакле комплетном) простору X; означимо његову суму са x. Како је A непрекидно пресликавање, имамо да је $\sum_{k=0}^{\infty}Ax_k=Ax$. У горњој једначини преласком на граничну вредност тако следи

$y_0=Ax.$

Како је

$\|x\|_X<N+N/2+N/4+\cdots=2N$

и $y_0\in B_Y(0,\eta/2)$ је било произвољно, тврђење следи.

 

Комплексна анализа

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп $U\subseteq{\mathbb C}$ и сваку неконстантну холоморфну функцију $f:U\to{\mathbb C}$, скуп $f(U)$ отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова ${\mathbb C}$ су такође отворени подскупови).