Тејлорова формула

Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x²) њеним Тејлоровим полиномом P_k реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2), респективно.

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Тејлоров полином

За више информација погледајте чланак Тејлоров полином

Тејлоров полином за неку функцију $f(x)$ и дату тачку $a$ је дефинисан на следећи начин:

$T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )$

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком $R_n^a (x)$ полинома и он износи:

$R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

$f(x) = T_n(x) + R_n(x)$

Доказ

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

$n=0$

$f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt.$

Да Тејлорова формула важи за $n=1$ можемо доказати путем парцијалне интеграције:

$f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f''(t) \, dt$

Корак индукције: Узмимо онда да за неко $n - 1$ важи:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} + \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt$

Доказ:

$n-1 \rightarrow n$

$R_{n-1}^a(x) = \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt = \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt$

Користимо $\frac{d}{dt} \left (\frac{(x-t)^n}{n} \right) = -(x-t)^{n-1}$:

$R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt$

Парцијалном интеграцијом:

$R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt$

$\Rightarrow f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)$,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом облику

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле

$\Rightarrow f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)$

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:

$R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$, где је $a < \xi < x$

Пример

Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

$f(x) = \sin(x), f'(x) = \cos(x), f''(x) = -\sin(x)$

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

$n=1, a = 0$

$\sin(x) \approx T_1(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot (x - a) = \sin(0) + \cos(0) \cdot x = x$

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

$R_1(x) = \int_0^x (x-t) f''(t) dt = \sin(x) - x$ највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:

$R_1(0.5) = -0.020574$, што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.

Граф за $R_3(x)$.

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке $a$.

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције $\sin(x)$ за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

Види још

• Маклоренова формула
• Тејлоров ред
• Тејлоров полином

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.