Тополошки простор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.

Дефиниција[уреди]

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекцијом подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци \tau, који задовољавају следеће особине:

  1. празан скуп и X налазе се у \tau.
  2. унија свих колекција скупова из \tau је такође скуп у \tau.
  3. пресек сваке коначне колекције скупова из \tau је такође у \tau.

Колекција \tau се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Скупови у \tau су отворен скупови, а њихови комплементи у X су затворени скупови. Произвољни подскуп од X може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.

Покривач скупа X је скуп подскупова у X такав да њихова унија даје цео скуп X. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.[1]

Околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.

Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи десни пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.
  • Специјални тополошки простори у зависности од топологије \tau:
  1. Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп X и колекција \tau = {\emptyset, X} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
  2. Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа X и колекције \tau= P(X), која је највећи могући подскуп партитивног скупа од X, тј. овде је топологија цео партитивни скуп од X.
  3. Код бесконачних скупова, када је нпр. X =  \mathit{Z} и колекција \tau је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа  \mathit{Z} , овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер \tau није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из Х који се не налазе у \tau.

Еквивалентне дефиниције[уреди]

Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције \tau подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:

  1. Празан скуп и X су у \tau.
  2. Пресек сваке колекције скупова из \tau је такође у \tau.
  3. Унија сваког пара скупова из \tau је такође у \tau.

Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:

  1. Празан скуп и X су затворени.
  2. Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
  3. Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.

По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији \tau су затворени скупови, а њихови комплементи у X су отворени скупови.

Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.

Поређење топологија[уреди]

Над истим скупом може постојати више топологија \tau тако да граде различите тополошке просторе.

Топологија \tau_1 је грубља (већа) од \tau_2, односно, топологија \tau_2 је финија (мања) од топологије \tau_1 ако важи да је сваки скуп из топологије \tau_1 истовремено садржан у топологији \tau_2. Овакво поређење топологија се записује: \tau_1 > \tau_2.

Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.

Непрекидне функције[уреди]

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена.

Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

Литература[уреди]

  • Armstrong, M. A.; Основна топологија (Basic Topology), Springer; прво издање (1. мај, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
  • Bredon, Glen E., Топологија и геометрија (Topology and Geometry) (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; 1st edition (17. октобар 1997). ISBN 0-387-97926-3.
  • Bourbaki, Nicolas; Елементи математике: Општа топологија (Elements of Mathematics: General Topology), Addison-Wesley (1966).
  • Čech, Eduard; Скупови тачака (Point Sets), Academic Press (1969).
  • Fulton, William, Алгебарска топологија (Algebraic Topology), (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; прво издање (5. септембар, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
  • Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; прво издање (1. јун, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
  • Munkres, James; Топологија (Topology), Prentice Hall; друго издање (28. децембар, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
  • Runde, Volker; Укус топологије (универзитетски текст) A Taste of Topology (Universitext), Springer; прво издање (6. јул, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
  • Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Контрапримери у топологији (Counterexamples in Topology), Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
  • Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 

Спољашње везе[уреди]