Триангулација

Из Википедије, слободне енциклопедије

У својој геометријској интерпретацији триангулација је процес одређивања апсолутне или релативне позиције неке тачке уз помоћ мерења углова ка тој тачки у односу на друге две унапред познате тачке (основе). Овај приступ се разликује од трилатерације где се раздаљина мери директним методама.

Овај метод се заснива на прецизном мерењу дужине основе и углова ка жељеној тачки, и примени тригонометријских функција уз помоћ којих се добија позиција и удаљеност до тражене тачке.

Пример триангулације у равни, рачунање раздаљине до жељене тачке уз помоћ дужине основе и два угла[уреди]

Слика 1. Раздаљина до жељене тачке се може израчунати уз помоћ два угла α и β, и растојања l

У овом примеру подразумевамо релативно мале раздаљине за l и d, за случај већих раздаљина (поредивих са радијусом земаљске кугле) се мора применити сферна тригонометрија (тригонометрија на сфери). За мале раздаљине (до неколико километара) се може искористити следећи рачун:

 \ell = \frac{d}{\tan \alpha} + \frac{d}{\tan \beta}

Дакле

d = \ell \, / \, (\tfrac{1}{\tan \alpha} + \tfrac{1}{\tan \beta})

Користећи тригонометријске идентитете tan α = sin α / cos α и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, претходни израз постаје:

d = \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)} \ell

Историја[уреди]

Слика 2. (Lui Hui c. 263), како измерити висину острва, илустрација из издања из 1726. године

Триангулација је позната од античког доба, у VI веку пре нове ере грчки филозоф Талес је израчунао висину пирамида тако што је измерио дужину пирамидине сенке у тренутку када је дужина његове сопствене сенке била једнака његовој висини (те је самим тим и висина пирамиде једнака дужини пирамидине сенке, због сличности троуглова). Проблеми овог типа су били познати древним египћанима, на пример проблем 57 са Ахмесовоg папируса говори о овоме. Кинески картограф и географ Lui Hui је у III веку користио триангулацију за мерење висине неприступачних литица.

Литература[уреди]

  • Bagrow, L. (1964) History of Cartography; revised and enlarged by R.A. Skelton. Harvard University Press.
  • Crone, G.R. (1978 [1953]) Maps and their Makers: An Introduction to the History of Cartography (5th ed).
  • Tooley, R.V. & Bricker, C. (1969) A History of Cartography: 2500 Years of Maps and Mapmakers
  • Keay, J. (2000) The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named. London: Harper Collins. ISBN 0-00-257062-9.
  • Murdin, P. (2009) Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer. ISBN 978-0-387-75533-5.

Спољашње везе[уреди]