Триангулација

У својој геометријској интерпретацији триангулација је процес одређивања апсолутне или релативне позиције неке тачке уз помоћ мерења углова ка тој тачки у односу на друге две унапред познате тачке (основе). Овај приступ се разликује од трилатерације где се раздаљина мери директним методама.

Овај метод се заснива на прецизном мерењу дужине основе и углова ка жељеној тачки, и примени тригонометријских функција уз помоћ којих се добија позиција и удаљеност до тражене тачке.

Пример триангулације у равни, рачунање раздаљине до жељене тачке уз помоћ дужине основе и два угла

Слика 1. Раздаљина до жељене тачке се може израчунати уз помоћ два угла α и β, и растојања l

У овом примеру подразумевамо релативно мале раздаљине за l и d, за случај већих раздаљина (поредивих са радијусом земаљске кугле) се мора применити сферна тригонометрија (тригонометрија на сфери). За мале раздаљине (до неколико километара) се може искористити следећи рачун:

$\ell ={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}$

Дакле

$d=\ell \,/\,({\tfrac {1}{\tan \alpha }}+{\tfrac {1}{\tan \beta }})$

Користећи тригонометријске идентитете tan α = sin α / cos α и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, претходни израз постаје:

$d={\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell$

Историја

Слика 2. (Lui Hui c. 263), како измерити висину острва, илустрација из издања из 1726. године

Триангулација је позната од античког доба, у VI веку пре нове ере грчки филозоф Талес је израчунао висину пирамида тако што је измерио дужину пирамидине сенке у тренутку када је дужина његове сопствене сенке била једнака његовој висини (те је самим тим и висина пирамиде једнака дужини пирамидине сенке, због сличности троуглова). Проблеми овог типа су били познати древним египћанима, на пример проблем 57 са Ахмесовоg папируса говори о овоме. Кинески картограф и географ Lui Hui је у III веку користио триангулацију за мерење висине неприступачних литица.

Литература

• Bagrow, L. (1964) History of Cartography; revised and enlarged by R.A. Skelton. Harvard University Press.
• Crone, G.R. (1978 [1953]) Maps and their Makers: An Introduction to the History of Cartography (5th ed).
• Tooley, R.V. & Bricker, C. (1969) A History of Cartography: 2500 Years of Maps and Mapmakers
• Keay, J.. The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named. London: Harper Collins. 2000. ISBN 978-0-00-257062-6..
• Murdin, P.. Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-75533-5..