Формула Брамагупте

у геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни облик

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формуле

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла $ABCD$ може се израчунати као збир површина $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$

$P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \gamma.$

Како је $ABCD$ тетивни четвороугао, $\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB$, па је $\sin \alpha = \sin \gamma$. Одатле је

$P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$P^2 = \frac{1}{4}\sin^2 \alpha (ad + bc)^2$

$4P^2 = (1 - \cos^2 \alpha)(ad + bc)^2 \,$

$4P^2 = (ad + bc)^2 - cos^2 \alpha (ad + bc)^2. \,$

Ако се примени косинусна теорема на $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$ и помоћу ње се изрази дијагонала $DB,$, добија се

$a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos \gamma. \,$

Пошто су углови $\alpha$ и $\gamma$ суплементни, важи $\cos \gamma = -\cos \alpha$ па ће бити

$2\cos \alpha (ad + bc) = a^2 + d^2 - b^2 - c^2. \,$

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

$4P^2 = (ad + bc)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2$

$16P^2 = 4(ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2, \,$

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

$16P^2 = (2(ad + bc) + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc) - a^2 - d^2 + b^2 +c^2) \,$

$= ((a+d)^2 - (b-c)^2 )((b+c)^2 - (a-d)^2) \,$

$= (a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a). \,$

Ако се полуобим означи са $s = \frac{a+b+c+d}{2},$ и то се уврсти у претходни корак:

$16P^2 = 16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c). \,$

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

$P = \sqrt{(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}.$

Уопштење формуле

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}$

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,$

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

$abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 90^\circ=abcd\cdot0=0, \,$

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формуле

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

Спољашње везе

• Формула Брамагупте на сајту wolfram.com
• Доказ формуле на сајту planetmath.org