Формула Брамагупте

Из Википедија

у геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Садржај

1 Основни облик
2 Доказ формуле
3 Уопштење формуле
4 Сродне формуле
5 Референце
6 Спољашње везе

[уреди] Основни облик

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

[уреди] Доказ формуле

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла $A B C D$ може се израчунати као збир површина $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$

$P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \gamma.$

Како је $A B C D$ тетивни четвороугао, $\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB$ , па је $sinα = sinγ.$ . Одатле је

$P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$P^2 = \frac{1}{4}\sin^2 \alpha (ad + bc)^2$

$4P^2 = (1 - \cos^2 \alpha)(ad + bc)^2 \,$

$4P^2 = (ad + bc)^2 - cos^2 \alpha (ad + bc)^2. \,$

Ако применимо косинусну теорему на $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$ и помоћу ње изразимо дијагоналу $D B,$ , добијамо

$a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos \gamma. \,$

Пошто су углови $α$ и $γ$ суплементни, важи $cosγ = - cosα$ па добијамо

$2\cos \alpha (ad + bc) = a^2 + d^2 - b^2 - c^2. \,$

Када добијену једнакост уврстимо у израз за површину, биће

$4P^2 = (ad + bc)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2$

$16P^2 = 4(ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2, \,$

Раставимо ли израз коришћењем формуле за разлику квадрата:

$16P^2 = (2(ad + bc) + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc) - a^2 - d^2 + b^2 +c^2) \,$

$= ( (a+d)^2 - (b-c)^2 )( (b+c)^2 - (a-d)^2 ) \,$

$= (a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a). \,$

Ако означимо полуобим са $s = \frac{a+b+c+d}{2},$ и уврстимо га у претходном кораку:

$16P^2 = 16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c). \,$

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

$P = \sqrt{(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}.$

[уреди] Уопштење формуле

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}$

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори^[1] према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,$