Формула Брамагупте

Из Википедије, слободне енциклопедије

у геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни облик[уреди]

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

P =  \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

s=\frac{a+b+c+d}{2}.

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формуле[уреди]

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла ABCD може се израчунати као збир површина \triangle ADB и \triangle BDC

P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \gamma.

Како је ABCD тетивни четвороугао, \angle DAB = 180^\circ - \angle DCB, па је \sin \alpha = \sin \gamma. Одатле је

P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha  + \frac{1}{2}bc\sin \alpha
P^2 = \frac{1}{4}\sin^2 \alpha (ad + bc)^2
4P^2 = (1 - \cos^2 \alpha)(ad + bc)^2 \,
4P^2 = (ad + bc)^2 - cos^2 \alpha (ad + bc)^2. \,

Ако се примени косинусна теорема на \triangle ADB и \triangle BDC и помоћу ње се изрази дијагонала DB,, добија се

a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos \gamma. \,

Пошто су углови \alpha и \gamma суплементни, важи \cos \gamma = -\cos \alpha па ће бити

2\cos \alpha (ad + bc) = a^2 + d^2 - b^2 - c^2. \,

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

4P^2 = (ad + bc)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2
16P^2 = 4(ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2, \,

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

16P^2 = (2(ad + bc) + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc) - a^2 - d^2 + b^2 +c^2) \,
= ((a+d)^2 - (b-c)^2 )((b+c)^2 - (a-d)^2) \,
= (a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a). \,

Ако се полуобим означи са  s = \frac{a+b+c+d}{2}, и то се уврсти у претходни корак:

16P^2 = 16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c). \,

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

P = \sqrt{(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}.

Уопштење формуле[уреди]

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори[1] према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 90^\circ=abcd\cdot0=0, \,

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формуле[уреди]

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

Извори[уреди]

Спољашње везе[уреди]