Функција индикатор

График функције индикатора дводимензионог скупа.

У математици, функција индикатор или карактеристична фунцкија је функција дефинисана на скупу $X$, која означава припадност елемента подскупу $A$ од $X$.

Индикатор функција подскупа $A$ скупа $X$ је функција

$\mathbf{1}_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace \,$

дефинисана као

$\mathbf{1}_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{ako}\ x \in A, \\ 0 &\mbox{ako}\ x \notin A. \end{matrix}\right.$

Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: $[x \in A]$.

Напомене о нотацији и терминологији

• Нотација $\mathbf{1}_A$ може да означава функцију идентитета.
• Нотација $\chi_{A}$ може да означава карактерисичну функцију у конвексној анализи.

Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.

Основна својства

Пресликавање које повезује подскуп $A$ скупа $X$ са својом функцијом индикатором $\mathbf{1}_A$ је инјективно.

У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. "$\cap$" и "$\cup$" су пресек и унија.

Ако су $A$ и $B$ два подскупа од $X$, онда

$\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,\,$

$\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,$

а комплемент функције индикатора за A, тј. A^C је:

$\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.$

Општије, претпоставимо да је $A_1, \ldots, A_n$ колекција подскупова од $X$. За свако $x \in X$,

$\prod_{k \in I} (1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))$

је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност $1$ тачно за оне $x \in X$ који не припадају ни једном од скупова $A_k$, а има вредност $0$ иначе. То јест

$\prod_{k \in I} (1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.$

Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,

$\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}$

где је $|F|$ кардиналност од $F$. Ово је један облик принципа укључења-искључења.

Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као сретство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је $X$ простор вероватноће са мером вероватноће $\mathbb{P}$ и $A$ је мерљиви скуп, онда $\mathbf{1}_A$ постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи $A:$

$E(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A).\quad$

Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.

Литература

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.
• Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
• Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
• George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
• Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
• Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174