Функција индикатор

Из Википедије, слободне енциклопедије
График функције индикатора дводимензионог скупа.

У математици, функција индикатор или карактеристична фунцкија је функција дефинисана на скупу X, која означава припадност елемента подскупу A од X.

Индикатор функција подскупа A скупа X је функција

\mathbf{1}_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace \,

дефинисана као

\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{ako}\ x \in A, \\
0 &\mbox{ako}\ x \notin A.
\end{matrix}\right.

Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: [x \in A].

Напомене о нотацији и терминологији[уреди]

Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.

Основна својства[уреди]

Пресликавање које повезује подскуп A скупа X са својом функцијом индикатором \mathbf{1}_A је инјективно.

У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. "\cap " и "\cup " су пресек и унија.

Ако су A и B два подскупа од X, онда

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,\,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,

а комплемент функције индикатора за A, тј. AC је:

\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.

Општије, претпоставимо да је A_1, \ldots, A_n колекција подскупова од X. За свако x \in X,

 \prod_{k \in I} (1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност 1 тачно за оне x \in X који не припадају ни једном од скупова A_k, а има вредност 0 иначе. То јест

 \prod_{k \in I} (1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

где је |F| кардиналност од F. Ово је један облик принципа укључења-искључења.

Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као средство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је X простор вероватноће са мером вероватноће \mathbb{P} и A је мерљиви скуп, онда \mathbf{1}_A постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи A:

E(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A).\quad

Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.

Литература[уреди]

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
  • Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
  • Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
  • George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
  • Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
  • Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174