Функција расподеле

Из Википедије, слободне енциклопедије

Функција расподеле, функција дистрибуције или кумулативна расподела вероватноће је функција у теорији вероватноће у ознаци Fx која за сваки реалан број x, одређује вероватноћу да је случајна променљива X узела вредност мању од или једнаку x:

x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x).

За означавање функције расподеле обично се користи велико латинично слово F, за разлику од малог латиничног слова f, које се користи за расподелу вероватноће.

Кумулативна расподела вероватноће се може изразити и преко расподеле вероватноће f на следећи начин[1]:

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.

Вероватноћа да X лежи на интервалу (ab] за a < b је једнака F(b) − F(a).

Својства[уреди]

Одозго на доле, функција расподеле дискретне случајне променљиве, непрекидне случајне променљиве, и случајне променљиве која има и непрекидне и дискретне делове.

Свака функција расподеле, F има следеће особине:

  • монотоно је неопадајућа
  • непрекидна је здесна
  • \lim_{x\to -\infty}F(x)=0
  •  \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.

Дискретне случајне променљиве[уреди]

Ако је X дискретна случајна променљива која узима вредности x1, x2, ... са вероватноћама pi = P(xi), њена функција расподеле ће имати прекиде у тачкама xi, и бити константна између њих:

F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).

Континуалне случајне променљиве[уреди]

Ако је функција расподеле F, случајне променљиве X, непрекидна, онда је X непрекидна случајна променљива; ако је осим тога, F апсолутно непрекидна, онда постоји Лебег-интеграбилна функција f(x), таква да

F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx

за све реалне бројеве a и b. (Прва од горње две једнакости не би била тачна у општем случају ако не би било назначено да је расподела непрекидна. Непрекидност расподеле имплицира да је P(X = a) = P(X = b) = 0, па разлика између < и ≤ у том контексту нема значаја.) Функција f је једнака изводу од F скоро свуда, и назива се расподела вероватноће за случајну променљиву X.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Функција дистрибуције, приступљено: 7. март 2015.