Циклоида

Из Википедије, слободне енциклопедије
Циклоида, која настаје котрљањем круга

Циклоида (од грч. κυκλοειδής-округли ) је крива, коју исцртава тачка на ободу круга, који се котрља по правој без клизања. Циклоиду су проучавали многи чувени математичари, посебно због тога што представља решење брахистохроне, проблема који је поставио Јохан Бернули.

Једначина[уреди]

Циклоида, која настаје котрљањем круга полумера r = 2

Једначина циклоиде, која пролази кроз координатни почетак, а настаје котрљањем круга полупречника r:

x = r(t - \sin t)\,
y = r(1 - \cos t)\,

У тој једначини t је параметар који одговара углу ротације круга. Решавајући једначину по променљивој t, добијамо једначину циклоиде у Декартовим координатама:

x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}

Први лук циклоиде чине тачке за које важи:

0 \le t \le 2 \pi.\,

Циклоида представља решење диференцијалне једначине:

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.

Проблем брахистохроне[уреди]

Brachistochrone.png

Јохан Бернули је 1696. поставио проблем брахистрохроне. За произвољне задане тачке A и B у вертикалној равни потребно је одредити једначину криве по којој би се кретала материјална тачка под дејством гравитационе силе, тако да то растојање пређе за најкраће могуће време. Та крива је управо циклоида, а проблем је представљао зачетак варијационог рачуна. Проблем су решавали Исак Њутн, Јакоб Бернули, Гијом де Лопитал и Готфрид Вилхелм Лајбниц.

Површина[уреди]

Лук циклоиде је задан са:

x = r(t - \sin t),\,
y = r(1 - \cos t),\, и са условом:
0 \le t \le 2 \pi.\,

Пошто је

\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),

онда је површина испод једнога лука:

\begin{align}
A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\
&= \left. r^2 \left(\frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\
&= 3 \pi r^2.
\end{align}
Продужена циклоида
Скраћена циклоида

Дужина лука циклоиде[уреди]

Дужина једнога лука циклоиде је:

\begin{align}
S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\
&= 8 r.
\end{align}

Дужину лука циклоиде први је израчунао Кристофер Рен 1658.

Криве из фамилије циклоида[уреди]

Са циклоидама су блиско повезане:

  • Скраћена циклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на произвољној удаљености a од центра круга радијуса r, али тако да је r>a. Параметарска једначина скраћене циклоиде је:
x = rt - a\sin t\,
y = r - a\cos t\,
  • Продужена циклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на произвољној удаљености a од центра круга радијуса r, али тако да је r<a. Параметарска једначина продужене циклоиде је:
x = rt - a\sin t\,
y = r - a\cos t\,
  • трохоида - скраћена и продужена циклоида припадају групи трахоида
  • епициклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на кружници, која се котрља по спољњем опсегу друге непомичне кружнице
  • хипоциклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на кружници, која се котрља по унутрашњем опсегу друге непомичне кружнице

Види још[уреди]

Литература[уреди]