Циклоида
Циклоида (од грч. κυκλοειδής-округли ) је крива, коју исцртава тачка на ободу круга, који се котрља по правој без клизања. Циклоиду су проучавали многи чувени математичари, посебно због тога што представља решење брахистохроне, проблема који је поставио Јохан Бернули.
Садржај |
Једначина[уреди]
Једначина циклоиде, која пролази кроз координатни почетак, а настаје котрљањем круга полупречника 
:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): x = r(t - \sin t)\,
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): y = r(1 - \cos t)\,
У тој једначини Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): t
је параметар који одговара углу ротације круга.
Решавајући једначину по променљивој t, добијамо једначину циклоиде у Декартовим координатама:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}
Први лук циклоиде чине тачке за које важи:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): 0 \le t \le 2 \pi.\,
Циклоида представља решење диференцијалне једначине:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.
Проблем брахистохроне[уреди]
Јохан Бернули је 1696. поставио проблем брахистрохроне. За произвољне задане тачке A и B у вертикалној равни потребно је одредити једначину криве по којој би се кретала материјална тачка под дејством гравитационе силе, тако да то растојање пређе за најкраће могуће време. Та крива је управо циклоида, а проблем је представљао зачетак варијационог рачуна. Проблем су решавали Исак Њутн, Јакоб Бернули, Гијом де Лопитал и Готфрид Вилхелм Лајбниц.
Површина[уреди]
Лук циклоиде је задан са:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): x = r(t - \sin t),\,
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): y = r(1 - \cos t),\,
и са условом:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): 0 \le t \le 2 \pi.\,
Пошто је
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): \frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),
онда је површина испод једнога лука:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): \begin{align} A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}
Дужина лука циклоиде[уреди]
Дужина једнога лука циклоиде је:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): \begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8 r. \end{align}
Дужину лука циклоиде први је израчунао Кристофер Рен 1658.
Криве из фамилије циклоида[уреди]
Са циклоидама су блиско повезане:
- Скраћена циклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на произвољној удаљености Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): a
од центра круга радијуса, али тако да је Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): r>a
. Параметарска једначина скраћене циклоиде је:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): x = rt - a\sin t\,
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): y = r - a\cos t\,
- Продужена циклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на произвољној удаљености Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): a
од центра круга радијуса
. Параметарска једначина продужене циклоиде је:
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): x = rt - a\sin t\,
- Рашчлањивање није успело (Cannot store math image on filesystem.): y = r - a\cos t\,
- трохоида - скраћена и продужена циклоида припадају групи трахоида
- епициклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на кружници, која се котрља по спољњем опсегу друге непомичне кружнице
- хипоциклоида, која представља криву, коју исцртава тачка на кружници, која се котрља по унутрашњем опсегу друге непомичне кружнице
