Чебишевљева неједнакост сума

Пафнути Лавович Чебишев

Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву. Ако имамо два падајућа низа:

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

и

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

онда вреди Чебишевљева неједнакост

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Исто тако ако је један низ растући, а други падајући:

$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$

и

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

онда вреди

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Доказ

Пођимо од суме

$S = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (a_j - a_k) (b_j - b_k).$

Ако су два низа падајућа (односно нису расућа) онда a_j − a_k и b_j − b_k имају исти предзнак за било који j, k. Збога тога следи да је S ≥ 0. Из горње једначине и S ≥ 0 добијамо:

$0 \leq n \sum_{j=1}^n a_j b_j +n \sum_{k=1}^n a_k b_k- \sum_{j=1}^n a_j \, \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^n a_k \, \sum_{j=1}^n b_j,$

Сабирајући исте чланове добијамо:

$0 \leq 2 n \sum_{j=1}^n a_j b_j - 2 \sum_{j=1}^n a_j \, \sum_{k=1}^n b_k.$

Коначно следи:

$\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j b_j \geq \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j \, \frac{1}{n} \sum_{j=a}^n b_k.$

Генерализација неједнакости

Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:

$\int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.\,$

Литература

• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9