Чебишевљеви полиноми

Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми $T_n(x)$ и $U_n(x)$. Чебишевљеви полиноми првога реда $T_n(x)$ представљају решења диференцијалне једначине:

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0. \,\!$

Чебишевљеви полиноми другога реда $U_n(x)$ представљају решења диференцијалне једначине:

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0. \,\!$

Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева.

Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом

Дефиниција полинома првога реда

Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

$\begin{align} T_0(x) & = 1 \\ T_1(x) & = x \\ T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \end{align}$

Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!$

Постоје још две друге генерирајуће функције:

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left( e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right). \,\!$

и

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }T_{n}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n}=\ln \frac{e}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}}.$

Дефиниција полинома другога реда

Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

$\begin{align} U_0(x) & = 1 \\ U_1(x) & = 2x \\ U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \end{align}$

Генерирајућа функција је дана са:

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!$

Ортогоналност

Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\!$ на интервалу (−1,1), па је релација ортогоналности:

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}$

Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором $\sqrt{1-x^2} \,\!$ па је релација ортогоналности:

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m, \\ \pi/2 &: n=m. \end{cases}$

Везе између полинома првога и другога реда

$\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots$

$T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,$

$T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x),$

$U_n(x) =2\sum_{j\,\, \text{odd}}^n T_j(x)$, за непарни n.

$U_n(x) =2\sum_{j\, \text{even}}^n T_j(x)-1$, за парни n.

Тригонометријска дефиниција

Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

$T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!$

где је:

$T_n(\cos(\vartheta))=\cos(n\vartheta) \,\!$

Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

$U_n(\cos(\vartheta)) = \frac{\sin((n+1)\vartheta)}{\sin\vartheta} \, ,$

Разне једначине и релације

Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине:

$T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1 \,\!$

Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:

$2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,\ldots$

Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:

$T_n(x)^2-T_{n-1}(x) T_{n+1}(x)= 1-x^2>0 \text{ za } -1<x<1\!$ и

$U_n(x)^2-U_{n-1}(x) U_{n+1}(x)= 1>0.\!$

Чебишевљеви полиноми другога реда

Примери

Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,$

Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

$U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,$

$U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,$

$U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \,$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Чебишевљеви полиноми првога реда
• Чебишевљеви полиноми другога реда