Чебишевљеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми  T_n(x) и  U_n(x). Чебишевљеви полиноми првога реда  T_n(x) представљају решења диференцијалне једначине:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0. \,\!

Чебишевљеви полиноми другога реда  U_n(x) представљају решења диференцијалне једначине:

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0. \,\!

Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева.

Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом

Дефиниција полинома првога реда[уреди]

Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:


\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}

Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Постоје још две друге генерирајуће функције:

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left(e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right). \,\!

и

\sum\limits_{n=0}^{\infty }T_{n}\left(x\right) \frac{t^{n}}{n}=\ln \frac{e}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}}.

Дефиниција полинома другога реда[уреди]

Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:


\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}

Генерирајућа функција је дана са:

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

Ортогоналност[уреди]

Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\! на интервалу (−1,1), па је релација ортогоналности:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\begin{cases}
0 &: n\ne m \\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{cases}

Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором \sqrt{1-x^2} \,\! па је релација ортогоналности:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m, \\
\pi/2 &: n=m.
\end{cases}

Везе између полинома првога и другога реда[уреди]

\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots
T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x),
 U_n(x) =2\sum_{j\,\, \text{odd}}^n T_j(x)  , за непарни n.
 U_n(x) =2\sum_{j\, \text{even}}^n T_j(x)-1  , за парни n.

Тригонометријска дефиниција[уреди]

Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

где је:

T_n(\cos(\vartheta))=\cos(n\vartheta) \,\!

Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

 U_n(\cos(\vartheta)) = \frac{\sin((n+1)\vartheta)}{\sin\vartheta} \, ,

Разне једначине и релације[уреди]

Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине:

T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1 \,\!

Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,\ldots

Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:

T_n(x)^2-T_{n-1}(x) T_{n+1}(x)= 1-x^2>0 \text{ za } -1<x<1\! и
U_n(x)^2-U_{n-1}(x) U_{n+1}(x)= 1>0.\!
Чебишевљеви полиноми другога реда

Примери[уреди]

Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,

Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \,

Литература[уреди]