Једнакост масе и енергије

Позната једначина на облакодеру Тајпеј 101 (Тајван, од 1994. највишој згради на свету) у току прославе Године физике 2005. године

Једнакост (еквивалентност) између енергије (E) и масе (m), у физици се успоставља важном и познатом једначином E = mc². Дакле, енергија је еквивалентна маси помноженој квадратом брзине светлости у вакууму (c²).

Конкретно у јединицама, E (у Џулима или kg·m²/s²) = m (килограма) помножено са (299.792.458 m/s)².

Значење формуле

За више информација погледајте чланак Еквивалентност масе и енергије

Ова формула има две значајне последице.

До успостављања еквивалентности масе и енергије, сматрало се да су обе величине констатне, маса се не мења при хемијским или физичким трансформацијама, енергија се трансформише из једног облика у други али њен укупан износ остаје исти. При нуклеарним трансформацијама (фисија, фузија), међутим, смањује се маса мировања језгра, а на рачун те масе ослобађа се енергија. Осим нуклеарних реакција, пример за овакву трансформацију масе у енергију и обрнуто јесу креација и анихилација пара честица-античестица (нпр. електрон-позитрон).

Друга значајна последица је могућност да се објектима без масе мировања (фотон) припише маса. Како фотон има енергију која зависи само од његове фреквенце (E=hν), то се сваком фотону може приписати одговарајућа маса (m=νh/c²). Овако дифинисана маса подлеже гравитационој интеракцији, али како је у питању мала маса, то је за њену детекцију потребна велика друга маса, најчешће нека звезда. Скретање светлости под утицајем гравитације може се уочити приликом помрачења Сунца, а осим овом једначином може се објаснити и Општом теоријом релативности која даје исте квантитавне резултате.

Историја и последице

$\mathrm{Energija} = \mathrm{Masa}\,\times\,(\mathrm{brzina\ svetlosti\ u\ vakuumu})^2$

Према овој једначини је највећа количина енергије, која се из једног тела може добити и претворити у користан рад, једнака маси тела помноженој квадратом брзине светлости.

Практични примери

Ретко се сва маса претвара у енергију (ово се нпр. дешава приликом анихилације материје и антиматерије). Обично се делимично добија друга маса (приликом фузије језгра различитих изотопа хелијума и трицијум, при фисији језгра лакших атома и неутрони), а само се разлика у маси (дефект масе) претвара у енергију. Разлика у маси између полазних сировина и продуката реакције износи 0,3% код фузије и 0,1% код фисије. Притом, код фисије није сва маса радиоактивна – пуњење код најефикаснијих атомских бомби садржи до 40% урана или плутонијума.

Килограм масе одговара:

• 90 PJ (90 000 000 000 000 000 Џула)
• 25 TWh (25 000 000 000 киловат-часова)
• енергију у 21 Мегатона TNT
• приближно 21,4 милиона Гига калорија

Амерички носач авиона USS Enterprise, и пратећи бродови Long Beach и Bainbridge у формацији у Медитерану, 18. јуна 1964. Посада Ентерпрајза образовала је чувену Ајнштајнову формулу у знак прве нуклеарне ратне формације.

Основа

$E = \frac{m_0 c^2}\sqrt{1-(v^2/c^2)},$

$E = \sqrt{m_0^2c^4 + p^2c^2}$

$E = \frac{1}{2}m v^2$,

Релативистичка маса

$m_{\mathrm{rel}} \;=\; \gamma m_0 \;=\; \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Из ове формуле се види да долази до повећања масе тела са повећањем брзине. Ова промена постаје јасно видљива тек при великим брзинама. При брзинама блиским брзини светлости маса тежи бесконачности.

Апроксимација при ниским брзинама

$E = m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 + \frac{3}{8} \left(\frac{v}{c}\right)^4 + \frac{5}{16} \left(\frac{v}{c}\right)^6 + \ldots \right].$

$E \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2.$

Ајнштајн и његов чланак из 1905.

Алберт Ајнштајн није формулисао ову једначину у овом облику у свом раду из 1905. године „Да ли инерција тела зависи од енергије коју поседује?“ (нем. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?), објављеном у Аналима физике од 7. септембра, иначе један од чувених радова познатих под заједничким називом радови из чудесне године.

У том раду пише:

„Ако тело одаје енергију L у облику зрачења, маса му се умањује за L/c².“

({{{2}}})

Извођење

Према другом Њутновом закону, односно закону кретања у класичној, нерелативистичкој, механици важи

$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{dt},$

где је m•v нерелативистички импулс (количина кретања) тела, F је сила која делује на тело, а t је координата апсолутног времена. У овом облику, закон не задовољава принципе релативитета: нису укључене промене простора и времена према Лоренцовим трансформацијама. Ово је исправљено у прилагођеном облику закона који се пише у следећем облику

$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{d\tau},$

$F=\frac{dp}{d\tau}.$

$p = (m\gamma c, \mathbf{p})^T$

$p^2 = m^2c^2$

$F\cdot p=0.$

$F=\left(\frac{\gamma}{c}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}),\mathbf{F} + \frac{\gamma^2}{\gamma + 1}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v})\right)^T.$

$\frac{\gamma}{c}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v})=\frac{d(m\gamma c)}{d\tau}.$

$W=\int \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{r} = \int \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,dt,$

$\frac{dE}{d\tau} = \gamma\mathbf{F}\cdot\mathbf{v},$

$E=m\gamma c^2.$

Види још

• Алберт Ајнштајн
• Брзина светлости

Литература

• Bodanis, David (2001). E=mc²: A Biography of the World's Most Famous Equation. Berkley Trade. ISBN 0-425-18164-2. 
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0. 

Спољашње везе

Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Једнакост масе и енергије

• најчешће постављана питања из физике на тему две врсте маса
• Срећан 100. рођендан E=mc² на сајту ББЦ
• Калкулатор антиматерије
• Енергија нуклеарне експлозије
• Ајншајнов рад из 1905.
• Ајнштајнов рукопис из 1912. који приказује E=mc²
• НОВА: Ајнштајнова велика идеја
• Једноставне последице E=mc²
•  IMDb  „E=mc²“ на IMDb ((en))
• енглески превод Ајншајновог рада из 1905. године