Reloov trougao

Из Википедије, слободне енциклопедије
Roloov trougao je slika sa konstantnim prečnikom, bazirana na jednakostraničnom trouglu. Rastojanja od bilo koje tačke krive do suprotnog temena su sva ista.

Roloov poligon je kriva konstantne širine - to jest, kriva čiji su svi prečnici iste dužine. Najpoznatiiji oblik je Roloov trougao. Ime je dobio po Francu Rolou, nemačkom inženjeru iz 19. veka, mada je trougao bio poznat i pre njega.

Roloov trougao je najprostiji netrivijalni primer krive sa konstantnom širinom - kriva kod koje su ista rastojanja dve suprotne paralelne tangente, nebitno od smera tih paralela. (Trivijalni primer je krug.)

Konstrukcija[уреди]

Roloov trougao koji rotira u kvadratu konstantnih dimenzija

Konstrukcija Roloovog trougla počinje na jednakostraničnom trouglu. Šestar se postavi u jedno od temena i opiše kružni luk između druga dva temena. To se ponovi i za ostala temena. Zatim se obriše početni trougao. Rezultat je kriva sa konstantnom širinom. Ekvivalentno, za dati trougao T čije su stranice a, uzeti granicu preseka kružnica sa poluprečnikom a koje su konstruisane iz temena T.

Po Blaške-Lebegovoj teoremi, Roloov trougao ima najmanju površinu od svih krivih konstantne širine. Ta površina je {1\over2}(\pi - \sqrt3)r^2, gde je r konstantni poluprečnik.

Roloov trougao može da se generalizuje na pravilne poligone sa neparnim brojem stranica. Tako su, na primer, izrađeni britanski novčići od 20 i 50 penija.

Upotreba[уреди]

  • Rotor Vankelovog motora je sličan Roloovom trouglu.
  • Burgijom u obliku Roloovog trougla može da se izbuši rupa koja je skoro savršeni kvadrat. Takvu burgiju je 1914. projektovao i patentirao Heri Vats (engl. Harry Watts). Ta burgija je konkavna na tri mesta, što omogućava sečenje uglova kvadrata i odstranjivanje strugotine.

Trodimenzionalna verzja[уреди]

Presek lopti poluprečnika r iz centa pravilnog tetraedra čija je stranica r se zove Roloov tetraedar, ali nije površ sa konstantnom širinom. Ali, može da se napravi da bude površ sa konstantnom širinom, koji se zove Majsnerov tetraedar, tako što se ivični lukovi zamene krivim umecima; alternativno, rotaciona površ Roloovog trougla kroz jednu njegovu osu simetrije formira površ konstantne širine, sa najmanjom zapreminom od svih rotacionih površi date konstantne širine.

Spoljašnje veze[уреди]