Tangentna teorema

Из Википедије, слободне енциклопедије
Sika 1 – Slika 1. Trougao

U trigonometriji, tangentna teorema predstavlja odnos dva ugla trougla i dužine naspramne stranice.


Na slici 1, a, b i c su dužine stranica trougla, a α, β i γ su uglovi naspram te tri stranice. Tangentna teorema glasi:

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Iako tangentna teorema nije uobičajeno poznata kao sinusna ili kosinusna teorema, ona je ekvivalentna sinusnoj teoremi i može se koristiti ako su poznate dužine dve stranice i ugao izmedju njih, kao i ako su poznata dva ugla i dužina jedne stranice. Tangentnu teoremu kod sfernih trouglova je opisao, u trinaestom veku, persijski matematičar Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), koji je takođe definisao i sinusnu teoremu trougla.

Dokaz[уреди]

Dokaz da se tangentna teorema može izvesti iz sinusne teoreme:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

Neka je:

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

Tako da je :

a = d \sin\alpha \text{ and }b = d \sin\beta. \, 

Sledi:

\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Koristeći trigonometrijsku funkciju za transformaciju zbira i razlike u proizvod :

 \sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;

Sledi:

\frac{a-b}{a+b} =  \frac{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\tfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta \right)\cos\tfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. \qquad\blacksquare

Kao alternativa korišćenju funkcije zbira ili razlike dva sinusa, takođe se može koristiti ova trigonometrijska funkcija:

 \tan\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}


Primena[уреди]

Pomoću tangentne teoreme se može izračunati nepoznata dužina stranice trougla I uglovi trougla kod kog su dve stranice a I b i ugao između njih poznati. Iz

\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)] = \frac{a-b}{a+b} \tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]= 
\frac{a-b}{a+b} \cot[\frac{\gamma}{2}]

sledi  ; sa , iz ovoga se može izvesti i . Preostala stranica c se može izračunati iz sinusne teoreme. Pre elektronskih kalkulatora, ovaj način izračunavanja se koristio češće nego kosinusna teorema , pošto je ovaj drugi način zahtevao dodatno proveravanje u logaritamskim tablicama, zbog računanja kvadratnog korena.

Vidi još[уреди]

Синусна теорема

Косинусна теорема