Гринова функција

Гринова функција G(x,x') је решење линеарне диференцијалне једначине облика: $D_{x}G(x,x')=\delta (x-x'),$ где је D_x диференцијални оператор, а δ(x-x') Делта функција. Може се рећи да је Гринова функција одговор система на јединичну побуду.

Гринове функције су добиле назив по британском математичару Џорџу Грину који их је увео у математику 1830-их година. Метод Гринових функција има примењују у математици и физици при решавању разних врста диференцијалних једначина.

Особине

Гринова функција није једнозначно одређена. За њено одређивање потребно је додати одређени гранични услов, а најчешће се наметају Дирихлеов или Нојманов гранични услов.

• Дирихлеов гранични услов захтева да Гринова функција на граници буде једнака нули. Последица оваквог захтева је да је Гринова функција симетрична по ${\vec {r}}$ и ${\vec {r'}}$, тј. да је $G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r'}},{\vec {r}}).$
• Нојманов гранични услов подразумева да је извод Гринове функције у правцу нормале једнак $-{\frac {4\pi }{S}}$.

Поасонова једначина

Гринова функција за Поасонову једначину:

$\Delta 'G({\vec {r}},{\vec {r'}})=-4\pi \delta ^{(3)}({\vec {r}}-{\vec {r'}})$

има опште решење:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})={\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}+F({\vec {r}},{\vec {r'}}),$

где је $F({\vec {r}},{\vec {r'}})$ решење хомогене диференцијалне једначине: $\Delta 'F({\vec {r}},{\vec {r'}})=0$

Метод Гринових функција

Метод Гринових функција се уводи за решавање диференцијалних нехомогених једначина које су линеарне. Метод се састоји у томе да се аналогна једначина увођењем Гринове функције уместо почетне решава за јединичну побуду уместо за нехомоген део, и онда се укупно решење добија суперпозицијом, што је еквивалентно Хајгенсоновом принципу у таласима и оптици.

Пример

Стационарна Шредингерова једначина има облик:

$(\Delta +k_{0}^{2})\Psi ^{(n)}({\vec {r}})=J^{(n)}({\vec {r}}),$

где је $J^{(n)}({\vec {r}})$ позната функција.

Ова једначина се може решити методом Гринових функција. Дакле, решавамо аналогну једначину с тим што непознату функцију замењујемо Гриновом функцијом, а нехомоген део с десне стране једначине замењујемо Делта функцијом.

$(\Delta +k_{0}^{2})G({\vec {r}},{\vec {r'}})=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}}).$

Таласна функција преко Гринове функције је изражена као:

$\Psi ^{(n)}({\vec {r}})=\int G({\vec {r}},{\vec {r'}})J^{(n)}({\vec {r'}})d^{3}r',$

што се може лако проверити убацивањем у почетну једначину.

Како су сви чланови у једначини са Гриновом функцијом инваријантни на транслације, то ни Гринова функција не зависи експлицитно од координата:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r}}-{\vec {r'}}),$

а једначина се може решити развојем у Фуријеов интеграл:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r}}-{\vec {r'}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int c({\vec {k}})e^{ik({\vec {r}}-{\vec {r'}})}d^{3}k,$

где коефицијенте у развоју добијамо преко инверзног Фуријеовог интеграла.

Види још

• Диференцијална једначина