С Википедије, слободне енциклопедије
Секанс Основне особине Парност парна Домен (-π/2+kπ,π/2+kπ), k из Z Кодомен (-∞,1] и [1,∞) Период 2π Специфичне вредности Лок. максимуми ((2k+1)π,-1) Лок. минимуми (2kπ,1) Специфичне особине Асимптоте (k + 1/2)π Променљива k је цео број
Секанс је тригонометријска функција изведена из функције косинуса .
Дефиниција гласи:
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}}
Веза са косекансом
sec
x
=
cosec
(
π
/
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}
док је Питагорин идентитет , идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције
1
+
tan
2
(
α
)
=
sec
2
(
α
)
{\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}
Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете.[1]
sec
ϕ
=
r
x
{\displaystyle \operatorname {sec} \;\phi ={\frac {r}{x}}}
Сл.1. Тригонометријски троугао
На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи
sec
ϕ
=
O
E
¯
{\displaystyle \sec \phi ={\overline {OE}}}
Сл.2. Тригонометријска кружница
Неке карактеристичне вредности
степени
0°
30°
45°
60°
90°
радијана
0
π
/
6
{\displaystyle \pi /6}
π
/
4
{\displaystyle \pi /4}
π
/
3
{\displaystyle \pi /3}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
sec
ϕ
{\displaystyle \sec \phi \,}
1
{\displaystyle 1\;}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
{\displaystyle 2\;}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty \;}
Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sec
x
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
односно уопштено
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
где су
E
k
{\displaystyle E_{k}\!}
Ојлерови бројеви .
Могуће је такође представити и у виду
sec
(
x
)
=
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
8
k
+
4
)
(
2
k
+
1
)
2
π
2
−
4
x
2
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.
Област дефинисаности функције: функција је дефинисана у скупу реалних бројева
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Област вредности функције: функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1
−
∞
<
sec
(
x
)
≤
−
1
∪
1
≤
sec
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }
функција је парна
sec
(
−
x
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}
функција је периодична са основном периодом 2π
sec
(
x
+
2
π
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}
функција има вертикалне асимптоте у тачкама
x
=
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функција нема хоризонталне и косе асимптоте функција нема нуле Монотоност функције
Екстремуми нема глобални екстремум
локални минимум
sec
(
2
n
⋅
π
)
=
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
локални максимум
sec
(
(
2
n
+
1
)
⋅
π
)
=
−
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
Конвексност и конкавност функције функција је конвексна у интервалу
−
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функција је конкавна у интервалу
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
3
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
функција нема превојне тачке Први извод функције је
d
d
x
sec
(
x
)
=
sec
(
x
)
⋅
tan
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
cosec
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}}
Неодређени интеграл функције
∫
sec
(
x
)
d
x
=
ln
|
1
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
|
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tan
(
x
)
|
{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}}
Први пут се скраћеница sec 1626. године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.[2]
^ Риста Карљиковић, Геометрија за више разреде средњих школа , трећи део, тригонометрија, издање књижарнице Рајковића и Ђурковића, Београд-Теразије, 1931
^ Миодраг Петковић, Љиљана Петковић, Математички времеплов, прилози за историју математике , ЗМАЈ, Нови Сад, 2006
Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов , Москва, »Наука«, 1980
