Хеликоид

Кружни хеликоид је минимална површ која има (кружни) хеликс као границу. Он је једина праволинијска минимална површ, не рачунајући раван. Дуго је хеликоид био једини познати пример потпуно уграђене минималне површи коначне топологије са бесконачном кривином. Међутим, 1992. године други пример, познат као Хофманова минимална површ, је пронађен. Хеликоид је једина не-ротациона површ која мозе клизити сама по себи.

Математички опис

Једначина хеликоида у цилиндричним координатама је:

$z=c\theta$

У Декартовим координатама то је:

${\frac {y}{x}}=tan({\frac {z}{c}})$

Може бити дата и у параметарском облику:

$x=u\cos(v)$

$y=u\sin(v)$

$z=cv$ ,

који има очигледно уопштење елептичког хеликоида. Пишући $z=-cu$ уместо $z=cv$ добија се конус уместо хеликоида.

Коефицијенти прве основне форме хеликоида су дати са :

$E=1$

$F=0$

$G=c^{2}+u^{2}$ ,

а коефицијенти друге основне форме су :

$e=0$

$f=-{\frac {c}{\sqrt {c^{2}+u^{2}}}}$

$g=0$

дајући површински елемент:

$dS={\sqrt {c^{2}+u^{2}}}du\wedge dv$

Интеграцијом по $v\in [0,\theta ]$ и $u\in [0,r]$ се добија :

$s=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\sqrt {c^{2}+u^{2}}}dudv$

$={\frac {1}{2}}\theta {\bigg [}r{\sqrt {c^{2}+r^{2}}}+c^{2}\log {\frac {r+{\sqrt {c^{2}+r^{2}}}}{c}}{\bigg ]}$

Гаусова кривина је дата са :

$K=-{\frac {c^{2}}{(c^{2}+u^{2})^{2}}}$

а средња кривина је :

$H=0$

чинећи хеликоид минималном површином. Гаусова кривина се може имплицитно дати :

$K(x,y,z)=-{\frac {c^{2}}{[c^{2}+x^{2}\sec({\frac {z}{c}})^{2}]^{2}}}$

$=-{\frac {4c^{2}\sin({\frac {z}{c}})^{4}}{[c^{2}+2y^{2}-c^{2}\cos({\frac {2z}{c}})]^{2}}}$

Хеликоид и катеноид

Анимација приказује трансформацију хеликоида у катеноид трансформацијом

Хеликоид и катеноид су локално изометријске површине . Хеликоид се може константно претварати у катеноид.

$x(u,v)=\cos \alpha \sinh v\sin u+\sin \alpha \cosh v\cos u$

$y(u,v)=-\cos \alpha \sinh v\cos u+\sin \alpha \cosh v\sin u$

$z(u,v)=u\cos \alpha +v\sin \alpha$

где је $\alpha =0$ одговара хеликоиду а $\alpha =\pi /2$ катеноиду .

Види још

• Катеноид
• Хеликс

Спољашње везе

• Хеликоид на wolfram.com (језик: енглески)
• Слика хеликоида
• Interactive 3D Helicoid plotter using Processing (with code)
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Хелицоид”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• WebGL-based Interactive 3D Helicoid