Једначина стања идеалног гаса

С Википедије, слободне енциклопедије

Једначина стања идеалног гаса је једначина стања теоретског идеалног гаса. Она уз неколико ограничења релативно добро описује понашања многих реалних гасова, под различитим условима. Овај закон је први објавио Емил Клаперон 1834. године, комбинујући Бојл-Мариотов закон и Чарлсов закон. Она се исто тако може извести из кинетичке теорије гасова, коју су развили 1856. Август Крониг и 1857. Рудолф Клаузијус.[1][2][3]

Криве приказују однос између притиска (вертикална оса) и запремине (хоризонтална оса) за идеални гас на различитим температурама

Стање неке количине гаса се може одредити са притиском, запремином и температуром. Новији облик тог закона је:

где је: p – апсолутни притисак гаса (Pa), V – запремина гаса (m3), N – број честица у гасу, kБолцманова константа (1,38•10−23 J•K−1) и T - апсолутна температура (K). Понекад се може писати као:

где је: n – број молова гаса, R – универзална гасна константа (8,314472 J•mol−1• K−1), једнака умношку Болцманове константе и Авогадровог броја.

Једначина[уреди | уреди извор]

Стање количине гаса је одређено његовим притиском, запремином и температуром. Модерни облик једначине једноставно повезује ове величине у два основна облика. Температура кориштена у једначини стања је апсолутна температура: у СИ систему мерних јединица, изражена у Келвинима.[4]

Општи облик[уреди | уреди извор]

Најчешће кориштен облик је

где

У СИ јединицама, P се мери у паскалима, V се мери у кубним метрима, n се мери у моловима, и T у Келвинима. R има вредност 8,314 J/K·mol или 0,08206 L·atm/ mol·K.

Моларни облик[уреди | уреди извор]

Колико је гаса присутно се може специфицирати дајући масу уместо хемијске количине материје гаса. Зато, алтернативни облик идеалног гасног закона има своју примену. Хемијска количина (n (у моловима)) је једнака маси (m (у грамима)) подељеној са моларном масом (M (у грамима по молу)):

Замењујући n са m/M, и уводећи густину ρ = m/V, добија се:

Дефинишући специфичну гасну константу Rспециф. као однос R/M,

Овај облик идеалног гасног закона је веома користан зато што повезује притисак, густину, и температуру у јединственој формули независној од количине гаса који се посматра. Алтернативно, закон се може написати користећи и специфичну запремину v, реципрочну вредност густине, као

Често је, поготово у инжињерским применама, представљати специфичну гасну константу симболом R. У тим случајевима, универзалној гасној константи се обично даје други симбол да би се разликовала. У сваком случају, контекст и/или јединице гасне константе би требало да појасне да ли је ријеч о специфичној или универзалној гасној константи у једначини.

Статистичка механика[уреди | уреди извор]

У статистичкој механици, следећа молекуларна једначина се изводи из првих принципа:

где је P апсолутни притисак гаса измерен у паскалима; N је број молекула у заданој запремини V. kb је Болцманова константа која повезује температуру и енергију; и T је апсолутна температура изражена у Келвинима.

Примена у термодинамичким процесима[уреди | уреди извор]

Табела испод поједностављује идеалну гасну једначину за одређене термодинамичке процесе, чинећи ову једначину једноставнијом за решавање користећи нумеричке методе.

Термодинамички процес се дефинише као систем који се креће од стања 1 до стања 2, где је број стања обележен у индексу. Као што је назначену у првом стубу табеле, основни термодинамички процеси се дефинишу тако да је једна од физичких величина гаса (P, V, T, или S) константна током процеса.

За дати термодинамички процес, ради специфицирања типа одређеног процеса, један од односа величина гаса (односи наведени у табели, под стубом означеном као „познати односи”) мора бити одређен (директно или индиректно). Такође, величина за коју је однос познат мора се разликовати од величине која је била позната у претходном стубу (иначе би однос био 1, и не би било довољно информација да се поједностави једначина).

У три задња стуба, величине (P, V, или T) у стању 2 могу се израчунати из величина у стању 1 кориштењем наведених једначина.

Процес Константна величина
Познати однос
P2 V2 T2
Изобарски процес
Притисак
V2/V1
P2 = P1 V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)
T2/T1
P2 = P1 V2 = V1(T2/T1) T2 = T1(T2/T1)
Изохорски процес

(Изоволуметрични процес)
(Изометрични процес)

Волумен
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1 T2 = T1(P2/P1)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1) V2 = V1 T2 = T1(T2/T1)
Изотермски процес
 Температура
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1/(P2/P1) T2 = T1
V2/V1
P2 = P1/(V2/V1) V2 = V1(V2/V1) T2 = T1
Изоентропијски процес

(Реверсибле Адијабатски процес)

Ентропија
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1(P2/P1)(−1/γ) T2 = T1(P2/P1)(γ − 1)/γ
V2/V1
P2 = P1(V2/V1)−γ V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)(1 − γ)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1)γ/(γ − 1) V2 = V1(T2/T1)1/(1 − γ) T2 = T1(T2/T1)
Политропични процес
P Vn
P2/P1
P2 = P1(P2/P1) V2 = V1(P2/P1)(-1/n) T2 = T1(P2/P1)(n - 1)/n
V2/V1
P2 = P1(V2/V1)−n V2 = V1(V2/V1) T2 = T1(V2/V1)(1−n)
T2/T1
P2 = P1(T2/T1)n/(n − 1) V2 = V1(T2/T1)1/(1 − n) T2 = T1(T2/T1)

^ а. У изоентропном процесу, системска ентропија (С) је константна. Под овим условима, П1 V1γ = П2 V2γ, где је γ дефинисано као однос топлотног капацитета, који је константан за калорично савршени гас. Вредност која се користи за γ је обично 1,4 за двоатомне гасове попут азота (N2) и кисеоника (O2), (и ваздуха, који је 99% двоатомни). Такође, γ је обично 1,6 за монатомске гасове попут племенитих гасова хелијума (He) и аргона (Ar). У моторима са унутрашњим сагоревањем γ варира између 1,35 и 1,15, у зависности од конститутивних гасова и температуре.

Изводи[уреди | уреди извор]

Емпирички[уреди | уреди извор]

Идеални гасни закон се може извести комбинацијом два емпиричка гасна закона: комбинованог гасног закона и Авогадровог закона. Комбиновани гасни закон гласи

Где је C константа која је директно пропорционална количини материје гаса, n (Авогадров закон). Фактор пропорционалности је универзална гасна константа, R, нпр. C=nR.

Из тога следи

Теоретски[уреди | уреди извор]

Кинетичка теорија[уреди | уреди извор]

Идеални гасни закон се такође може добити из првих принципа користећи кинетичку теорију гасова, у којој неколико поједностављујућих претпоставки се доноси, првенствено да су молекули, или атоми гаса тачкасте масе, које поседују масу али не значајне запремине, и подилазе само еластичне сударе међусобно и са странама спремника. У колизијама је очуван и линеарни моментум и енергија.

Статистичка механика[уреди | уреди извор]

Ако q = (qx, qy, qz) и p = (px, py, pz) обележавају радијус-вектор и вектор моментума честице идеалног гаса, респективно. Нека F означава укупну силу на ту честицу. Онда је просечна потенцијална енергија честице:

где је прва једнакост Њутнов други закон, а друга линија користи Хамилтонове једначине и теорему еквипартиције. Сумирање преко система од N честица даје

По Њутновом трећем закону и претпоставци идеалног гаса, укупна сила система је сила коју врше зидови спремника у којем је гас. Ова сила је дата притиском P гаса. Следи

где је dS инфинитезимални елемент површине зидова спремника. Зато што је дивергенција радијус-вектора q

теорија дивергенције имплицира да

где је dV инфинитезимална запремина унутар спремника и V је укупна запремина спремника.

Уврштавањем једне од ових једначина у другу се добија

што имплицира да је идеални гасни закон за гас са N честица:

Одступање од реалних гасова[уреди | уреди извор]

Једначина стања важи за идеалне гасове, и у знатној мери за реалне гасове. Будући да она занемарује величину молекула и међумолекуларна дејства, једначина стања идеалног гаса је најтачнија за једноатомске гасове, за високе температура и мале густина гасова. Важност међумолекуларног деловања се смањује са повећањем топлотне кинетичке енергије гасова, тј. са повећањем температуре. Детаљнија једнаџба стања, као што је ван дер Валсова једначина, узима у обзир величину молекула и међумолекулске силе.

Измењени облици једначине[уреди | уреди извор]

Моларни облик[уреди | уреди извор]

Број молова (n) је једнак маси (m) гаса подељеној са моларном масом (M):

Ако заменимо n, и ако узмемо за густину ρ = m/V, добијамо:

Ако одредимо специфичну гасну константу Rspecif. као однос R/M, добијамо:

Овај облик је користан јер повезује притисак, густину и температуру. Осим тога, једначина се може писати узимајући у обзир специфичну запремину v, која је обрнуто пропорционална густини:

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Цлапеyрон Е.: "Мéмоире сур ла пуиссанце мотрице де ла цхалеур", јоурнал = Јоурнал де л'Éцоле Полyтецхниqуе, 1834, Фацсимиле ат тхе Библиотхèqуе натионале де Франце}-
  2. ^ Крöниг А.: "Грундзüге еинер Тхеорие дер Гасе", јоурнал = Аннален дер Пхyсик, 1856, [1] Фацсимиле ат тхе Библиотхèqуе натионале де Франце
  3. ^ -{Clausius R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal = Annalen der Physik und Chemie, 1857, [2] Facsimile at the Bibliothèque nationale de France
  4. ^ „Equation of State”. Архивирано из оригинала 23. 8. 2014. г. Приступљено 17. 4. 2016. 

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]