Клатно

Приказ клатна које се њише услед гравитационе силе. Приказано је и напрезање у нити Т.

Кад се клатно пусти, оно се креће под утицајем силе m∙g∙sin θ.

Фукоово клатно

Сат с клатном или часовник њихалица из 1904. године, врло је поуздана врста механичког сата.

Гравиметрија је одређивање поља силе теже мерењем њеног убрзања у различитим тачкама на Земљи.

Реконструкција Џанг Хенговог сеизмографа.

Клатно или њихало је физичко тело које се њише око равнотежног положаја. Њихање могу изазвати гравитациона сила, еластична сила (на пример опруга), електрична сила, магнетна сила и друго.

Математичко клатно је материјална тачка обешена о нерастегљиву нит без масе. За мале амплитуде, период осциловања зависи од убрзања силе теже g и од дужине нити l на коју је маса обешена:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}\qquad \qquad \qquad (\theta \,manje\,od\,\,5^{\circ })\,$

Физичко клатно је физичко тело које се њише око чврсте тачке која се не подудара са тежиштем. Изведено из положаја равнотеже, физичко клатно почиње да се њише под утицајем властите тежине. Период осциловања зависи од тежине тела, удаљености између тежишта и обесишта и од момента инерције с обзиром на обесиште.

Торзијско клатно је тело које је обешено о нит које се периодично уврће (ротира) у равни нормалној на нит због еластичне силе нити. За мале амплитуде кретање је хармонијско.

Кретање клатна први су проучавали Галилео Галилеј и Леон Фуко (Фукоово клатно).

Математичко клатно

Причврсти ли се мала оловна куглица на танку нит и ако се отклони за известан угао од њеног равнотежног положаја, онда та куглица на нити врло мале тежине преставља математичко клатно. Куглица се неће зауставити у свом равнотежном положају већ ће око њега осциловати. Пут клатна између крајњих тачака зове се једна осцилација, а време које је потребно да клатно учини једну осцилацију зове се период или време осциловања. Код осциловања клатна врши се стално претварање потенцијалне енергије у кинетичку енергију и обратно. Кад се клатно подигне из положаја мировања на неку висину |х, даје му се извесну потенцијална енергија. Кинетичка енергија је у том положају једнака нули, јер клатно нема брзине. Кад се клатно пусти, оно ће се под утицајем компоненте m∙g∙sin θ кретати, па ће његова потенцијална енергија опадати, а кинетичка расти. У најдоњем положају (равнотежном положају) биће потенцијална енергија једнака нули, док ће кинетичка енергија бити највећа, јер је ту брзина највећа. Због тромости или инерције клатно ће продужити своје њихање, те ће поновно кинетичка енергија опадати, а потенцијална расти, а у крајњој тачки поновно ће кинетичка енергија бити нула, а потенцијална највећа.

Кад не би било трења у ослонцу и отпора ваздуха, клатно би се стално њихало и увек би се попело до исте висине. Међутим, његова се енергија полагано троши на отпор ваздуха и трење, те титраји постају све слабији, док се клатно коначно не умири у равнотежној тачки. Сила која проузрокује њихање је:

$F=m\cdot g\cdot \sin \theta$

Може се израчунати да је време једног титраја:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

а време једног њихаја које је половина једног титраја:

$t=\pi \cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Из овог израза произлази да трајање једног титраја зависи од две величине, од дужине клатна l и од убрзања g силе теже. Према томе је трајање једног титраја:

• сразмерно (пропорционално) с другим кореном из дужине клатна l уз стално g, то јест што је клатно дуже, то је и време клатна веће, те се клатно њише полаганије. Што је клатно краће, време титраја је мање и клатно се њише брже;
• обрнуто сразмерно с убрзањем силе теже g уз константну вредност l, то јест где је убрзање силе теже веће, тамо је време осциловања краће. Где је убрзање силе теже мање, тамо је и време осциловања веће.

Трајање једног титраја не зависи:

• од тежине, то јест о тога да ли је клатно лакше или теже, да ли је грађено од жељеза, дрва, олова или било којег другог материјала;
• од амплитуде. То значи да је време једног титраја исто, без обзира да ли се клатно скрене из положаја равнотеже за већи или мањи угао. Практичко то вреди само за мале углове приближно до θ = 5°.

Физичко клатно

Примена клатна у техници је врло велика, само то није математичко него физичко клатно. Такво физичко клатно је свако тело које се може њихати под утицајем властите тежине око једне чврсте тачке која се зове обесиште. Међутим, кад би била слободна, свака материјална тачка тог тела имала би своје трајање једног њихаја које би било зависно од њене удаљености од обесишта. Значи да би материјалне тачке тога тела имале различита времена једне осцилације. Како се оне не могу одвојити једна од друге, цело тело има неко средње трајање осцилације.

Време једног физичког клатна се добија тако да нађе дужину оног математичког клатна које се њише исто тако као и физичко клатно. То је пак оно математичко клатно које има исту угаону брзину и угаоно убрзање као и физичко клатно. Дужина lo оног математичког клатна чије је време једне осцилације исто као и код физичког клатна зове се редукована дужина физичког клатна. Она се може изразити као:

$l_{0}={\frac {I}{m\cdot R}}$

где је: I - момент тромости или момент инерције физичког клатна с обзиром на обесиште, m - маса физичког њихала, а R - удаљеност између обесишта и центра маса (тежишта). На основу тога се добија време једне осцилације физичког клатна T:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {I}{m\cdot g\cdot R}}}$

Физичко клатно се примењује код часовника са клатном. Та се примена заснива на изохроности, то јест на независности времена осцилације од амплитуде. Клатно својим правилним ходом присиљава механизам и зупчанике да се у једнаким временским размацима помичу. Да се због трења и отпора ваздуха клатно не заустави, оно добија након сваке осцилације подстицај притиском висећег утега, који се код тога одмотава с вретена. Будући да трајање једне осцилације зависи од убрзања силе теже, то значи да часовник са клатном неће на сваком месту ићи тачно. На пример, часовник који иде тачно на Балкану ићи ће све брже што се више приближава половима, а полаганије што се више приближава екватору.

Секундно клатно

Кад се у израз осцилације математичког клатна стави да је t = 1 секунда, добија претварањем:

$g=\pi ^{2}\cdot l$

Такво клатно коме једна осцилација траје једну секунду зове се секундним клатном. Дакле, мерењем дужине секундног клатна може се одређивати убрзање силе теже, што има велику важност у рударству. Наиме, убрзање силе теже не мења се само са географском ширином већ оно показује знатне промене често и на мањем подручју Земље. То долази због тога што се испод Земљине коре налазе масе различите густине. Масе веће густине узрокују веће убрзање силе теже, што произлази из Њутновог закона гравитације. Према величини убрзања силе теже на различитим местима могу се стварати закључци о врсти и количини маса, односно наслага које се налазе на тим местима. Према томе, одређивање убрзања силе теже служи за истраживање руда. Специјална клатна која служе у ту сврху зову се гравиметри.

Сеизмограф

Главни чланак: Сеизмограф

Сеизмограф (грч. σεισμός: потрес + граф) је мерни инструмент којим се мере и бележе помаци тла током потреса. Главни је део сеизмографа клатно, које служи као сензор помака тла и које због тромости (инерције) настоји да одржи стање мировања за потреса, док се кућиште слободно креће, те се бележи разлика њиховог међусобног положаја (сеизмограм). Уређајем за мерење пригушују се слободне осцилације клатна. Механичке сеизмографе наследили су електромагнетски, код којих се клатно са завојницом креће у сталном магнетном пољу кућишта те тако индукује електрични напон, а електрични се сигнал похрањује на меморијску јединицу. Како би се на темељу сеизмограма могло потпуно реконструирати кретање тла, сеизмографи истодобно бележе три међусобно нормалне компоненте кретања тла.

Литература

• Борwеин, Ј.M.; Борwеин, П.Б. (1987). Пи анд тхе АГМ. Неw Yорк: Wилеy. стр. 1-15. ИСБН 978-0-471-83138-9. МР 0877728. 
• Бакер, Грегорy L.; Блацкбурн, Јамес А. (2005). Тхе Пендулум: А Пхyсицс Цасе Студy (ПДФ). Оxфорд Университy Пресс. 
• M. Гиттерман (2010). Тхе Цхаотиц Пендулум (Wорлд Сциентифиц).
• Мицхаел Р. Маттхеwс, Артхур Стиннер, Цолин Ф. Гаулд (2005)Тхе Пендулум: Сциентифиц, Хисторицал, Пхилосопхицал анд Едуцатионал Перспецтивес, Спрингер
• Маттхеwс, Мицхаел Р.; Гаулд, Цолин; Стиннер, Артхур (2005). „Тхе Пендулум: Итс Плаце ин Сциенце, Цултуре анд Педагогy”. Сциенце & Едуцатион. 13 (4/5): 261—277. Бибцоде:2004Сц&Ед..13..261М. дои:10.1023/б:сцед.0000041867.60452.18. 
• Сцхломо Силберманн,(2014) "Пендулум Фундаментал; Тхе Патх Оф Ноwхере" (Боок)
• Маттхyс, Роберт Ј. (2004). Аццурате Пендулум Цлоцкс. УК: Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-852971-2. 
• Нелсон, M. Г.; Олссон (фебруар 1986). „Тхе пендулум – Рицх пхyсицс фром а симпле сyстем”. Америцан Јоурнал оф Пхyсицс. 54 (2): 112—121. Бибцоде:1986АмЈПх..54..112Н. дои:10.1119/1.14703. 
• L. П. Поок (2011). Ундерстандинг Пендулумс: А Бриеф Интродуцтион (Спрингер).
• Оцхс, Карлхеинз (2011). „А цомпрехенсиве аналyтицал солутион оф тхе нонлинеар пендулум”. Еуропеан Јоурнал оф Пхyсицс. 32 (2): 479—490. Бибцоде:2011ЕЈПх...32..479О. дои:10.1088/0143-0807/32/2/019. 
• Сала, Кеннетх L. (1989). „Трансформатионс оф тхе Јацобиан Амплитуде Фунцтион анд итс Цалцулатион виа тхе Аритхметиц-Геометриц Меан”. СИАМ Ј. Матх. Анал. 20 (6): 1514—1528. дои:10.1137/0520100. 
• Арнолд, V.I. (1989). Матхематицал Метходс оф Цлассицал Мецханицс. Спрингер. стр. 123. ИСБН 978-0-387-96890-2. 
• Марион, Јеррy Б.; Тхорнтон, Степхен Т. (1995). Цлассицал дyнамицс оф партицлес анд сyстемс (4тх изд.). Броокс Цоле. стр. 398-401. ИСБН 978-0-03-097302-4. 
• Перссон, Андерс О. (2005). „Тхе Цориолис Еффецт: Фоур центуриес оф цонфлицт бетwеен цоммон сенсе анд матхематицс, Парт I: А хисторy то 1885” (ПДФ). Хисторy оф Метеорологy. 2. Архивирано из оригинала (ПДФ) 11. 4. 2014. г. Приступљено 16. 2. 2019. 
• Далига, К.; Прзyборски, M.; Сзулwиц, Ј. (2015). „Фоуцаулт'с Пендулум. Унцомплицатед Тоол ин тхе Студy оф Геодесy анд Цартограпхy”. ЕДУЛЕАРН15 Процеедингс - 7тх Интернатионал Цонференце он Едуцатион анд Неw Леарнинг Тецхнологиес, Барцелона, Спаин. ИСБН 978-84-606-8243-1. 

Спољашње везе

• Mathworld article on Mathieu Function
• Pendulum calculator
• Рубин, Јулиан (2007). „Тхе Инвентион оф тхе Фоуцаулт Пендулум”.  Фоллоwинг тхе Патх оф Дисцоверy, 2007, ретриевед 2007-10-31. Дирецтионс фор репеатинг Фоуцаулт'с еxперимент, он аматеур сциенце сите.
• Тобин, Wиллиам. „Тхе Лифе анд Сциенце оф Лéон Фоуцаулт”. Архивирано из оригинала 12. 09. 2018. г. Приступљено 16. 02. 2019. 
• Боwлеy, Рогер (2010). „Фоуцаулт'с Пендулум”. Сиxтy Сyмболс. Брадy Харан фор Университy оф Ноттингхам.