Поенкареов диск модел

Поенкареов диск модел на коме је {3,7} поплочавањем приказан икосидодекаедрон

Поенкареов диск модел у 2 димензије

У геометрији, Поенкареов диск модел, такође назван и конформални диск модел, је модел н-димензионалне хиперболичке геометрије (нееуклидске геометрије Лобачевског).

Када се представи у две димензије Поенкареов диск модел је круг, а кружница која га ограничава је ивица или граница ове нееуклидске површи која се назива апсолута.

Хиперболичке тачке су све тачке круга, где тачке на граничној кружници представљају бесконачност. Хиперболичке праве су делови кружница нормалних на апсолуту или пречници диска. Хиперболичке дужи су одсечци кругова нормалних на апсолуту, а чија темена припадају хиперболичкој равни. Хиперболичке полуправе су, такође, одсечци кругова нормалних на апсолуту, али чије се једно теме налази на апсолути, а друго припада хиперболичкој равни.

Заједно са Клајновим моделом и Поенкареовим полураванским моделом, овај модел је био предложен и од Еугениа Белтрамија који га је искористио да докаже како је хиперболичка геометрија еквиконзистентна са Еуклидовом геометријом.

Метрика Поенкареовог диск модела

Поенкареов метрички тензор представљен је диском

$\qquad U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\}$

Ако су у и в два вектора у реалном н-димензионалном векторском простору, Р^н са обичном Еуклидском нормом, оба ће имати норму мању од 1, онда можемо да дефинишемо једну изометричку инваријанту као

$\delta (u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}},\,$

где $\lVert \cdot \rVert$ представљају обичну Еуклидску норму. Тада је функција раздаљине:

$\qquad d(u,v)=\operatorname {arccosh} (1+\delta (u,v)).\,$

Како је функција раздаљине дефинисана за било која 2 вектора норме мање од 1 и како она гради склоп вектора у метричком простору који је модел хиперболичког простора константне криве −1. Модел има особину да је угао између 2 пресецајуће праве у хиперболичком простору једнак углу у моделу.

Повезан метрички тензор Поенкареовог модела је одређен формулом

$ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}},$

где су x_и координате унутрашњости Еуклидског простора. Геодезијске линије (Геодезијска линија дате површи састоји се од лукова у датој површи оји сваке две њене тачке спајају по линији најкраћег растојања међу њима)диск модела су кругови нормални на кружницу Поенкареовог модела С^н−1.

Аналитичка геометрија у Поенкареовом диск моделу

Права је дефинисана формулом:

$x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0,\,$

што представља генералан облик кружнице нормалне на јединичну кружницу Г.

За праву кроз 2 дате тачке, у и в, које обе не припадају пречнику јединичног круга формула гласи:

$x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.$

Ако су у и в тачке на јединичној кружници, где обе не припадају крајевима истог речника, формула за праву кроз њих је:

$x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.$

Види још

• Хиперболичка геометрија
• Поенкареов полуравански модел
• Нееуклидске геометрије
• Еуклидска геометрија
• Метрика

Литература

• Геометрy: Еуцлид анд Беyонд, Робин Хартсхорне, Спрингер
• Зоран Лучић, Еуклидска и хиперболичка геометрија (1997),ТОТАЛ ДЕСИГН и Математички факултет у Београду